Ilmiy rahbar: A. Turg’unov Qo‘qon-2023 Mundarija Kirish Asosiy qism

3-§. Differensial tenglamaning fizika masalalariga tadbiqi
Differensial tenglama yordamida fizika masalalarining ko’pchiligi hal qilinadi. Quyida differensial tenglamalarni fizikaning turli masalalariga tadbiqini ko’rib chiqamiz.
To’g’ri chiziqli harakat tezligi. Agar moddiy nuqtaning harakat tezligi kuch ta’sir etadigan chiziq yo’nalishida bo’lsa, u holda moddiy nuqtaning harakati to’g’ri chiziqli bo’ladi. Harakat chizig’ini Ox o’q uchun qabul qilamiz. Nyutonning ikkinchi qonunidan nuqta harakatining differensial tenglamasini hosil qilamiz:
m (1)
bu yerda -- tezlanish ( v tezlikning t vaqt bo’yicha hosilasi). m- harakatlanayotgan nuqta massasi, X- kuch kattaligi.
Bu tenglama, shuningdek, jismning hamma nuqtalari birday harakatlanadigan ilgarilanma harakatni ham tavsiflaydi va shuning uchun jism harakatini uning og’irlik markaziga joylashgan moddiy nuqtaning o’sha jismning og’irlik markaziga qo’yilgan kuch ta’siri ostidagi harakati deb qarash mumkin.
X kuch t vaqtning funksiyasi sifatida berilgan bo’lsin: X=X(t) harakatning t=t₀ dagi boshlang’ich tezligi v=v₀. Endi esa (1) tenglamani integrallab, umumiy yechim hosil qilamiz:
v=
Ixtiyoriy C o’zgarmasni t=t₀ da v=v₀ boshlang’ich shartdan aniqlaymiz: v₀=C, demak,
v=
Bu yechimni quyidagicha qayta yozishimiz mumkin:
mv-mv₀= (2)
bu tenglik quyidagi qonunni ifodalaydi: nuqtaning biror chekli vaqt oralig’idagi impulsiga teng.
Agar X funksiya nuqtaning koordinatasi x ga bog’liq ,ya’ni X=X(x) bo’lsa va harakat x=x₀ boshlang’ich ko’chishdan boshlansa, u holda (1) tenglikning ikkala tomonini dx ga ko’paytirib quyidagini hosil qilamiz:
m dx=X(x)dx (3)
yoki (3) tenglamani ko’rinishini
mvdv=X(x)dx (4)
kabi yozib olishimiz mumkin. Chunki ko’rinishida yozib olishimiz mumkin. (4) tenglamaning ikkala tomonini integrallaymiz:

x=x₀ da v=v₀ boshlang’ich shartdan ixtiyoriy C o’zgarmasni aniqlaymiz:

Shunday qilib, xususiy integralni quyidagi ko’rinishda topamiz:
(5)
Bu tenglik nuqtaning x-x₀ masofaga ko’chishida uning kinetic energiyasining o’zgarishi kuchning shu uchastkada bajargan ishiga teng ekanligini ko’rsatadi. Bu munosabat kuch ko’chish funksiyasi kabi ifodalash talab qilingan hollarda juda qulaydir.
Endi esa to’g’ri chiziqli harakat tezligi ga doir masalani differensial tenglama yordamida yechilishiga oid misollar ko’ramiz.