Инновации в науке

 
 Инновации в науке
www.sibac.info № 11 (48), 2015 г. 
32 
При определении движения твердого тела или произвольной 
механической системы кроме основных задач динамики часто 
требуется оценить устойчивость и управляемость состояний движения. 
Одним из первых определение понятия устойчивости было дано 
Л. Эйлером в 1749 г. в связи с практически важным вопросом того 
времени устойчивости кораблей Российского флота (рис. 1): 
«равновесное положение тела будет устойчиво, ежели оное тело, 
будучи несколько наклонено, опять исправится» [8; 15]. 
Рисунок 1. Устойчивость корабля по Эйлеру 
 
Применительно к упругим системам определение Эйлера можно 
сформулировать следующим образом: «равновесие в упругой системе 
при заданных внешних силах считается устойчивым, если после 
статического приложения малой возмущающей силы и последующего 
снятия система возвращается к своему исходному состоянию». 
В противном случае исходное состояние равновесия системы 
считается неустойчивым. 
Рисунок 2. Устойчивость упругой системы 
 
Другим, более общим, определением устойчивости состояния 
равновесия является определение Лагранжа для упругой системы 
(рис. 2): «исходное состояние равновесия устойчиво, если после 
отклонения от этого состояния она, предоставленная самой себе, 

---

 
Инновации в науке
№ 11 (48), 2015 г.   www.sibac.info 
33 
стремится вернуться к нему, совершая малые колебания, затухающие 
со временем при наличии сил внешнего и внутреннего 
сопротивления». 
Строгое 
определение 
понятия 
устойчивости 
положения 
равновесия и других решений динамических систем было дано 
в 1892 г. русским ученым А.М. Ляпуновым [11].
Движение или поведение решения динамической системы 
называется устойчивым по Ляпунову, если малые отклонения 
в начальных данных фазовых переменных от опорного, выбранного 
для исследования, решения системы дифференциальных уравнений 
приводят к малым уклонениям в дальнейшем. Если отклонение 
со временем стремится к нулю, то опорное решение называют 
асимптотически устойчивым. 
Устойчивость определяют по Эйлеру, Лагранжу, Ляпунову, 
Пуанкаре, Жуковскому или Красовскому, а также рассматривается 
орбитальная устойчивость траекторий или устойчивость по части 
переменных [3; 5; 17; 19]. В последнем случае оказывается, что 
фазовая траектория или её проекция на соответствующее подпрос-
транство остается в достаточной близости от опорной траектории, хотя 
изображающие точки могут сколь угодно разбегаться, удаляясь друг 
от друга со временем.
В механике устойчивость характеризуется реакцией на достаточно 
малое отклонение в начальных данных или возмущение действующих сил 
для системы, находящейся в равновесии. Устойчивость – способность 
системы сохранять текущее состояние равновесия или движения при 
влиянии внешних малых воздействий. Под неустойчивостью понимают 
способность систем при действии весьма малых возмущений получать 
большие перемещения или менять характер движения. Процесс 
считается неустойчивым, если сколь угодно малое возмущение 
вызывает катастрофическое развитие перемещений и деформаций. 
Катастрофа наступает в точках, которые называют точками 
бифуркации Пуанкаре или пределами устойчивости. 
Наглядным примером устойчивого состояния равновесия служит 
поведение тяжёлого шарика на гладкой поверхности в зависимости 
от формы и свойств в окрестности текущего положения.