Инновации в науке

 
Инновации в науке
№ 11 (48), 2015 г.   www.sibac.info 
35 
Свойство траектории или решения 
( )
x t
автономной системы 
обыкновенных дифференциальных уравнений называется орбитальной 
устойчивостью, если для всякого 
0


существует 
0
d

такое, что 
всякая положительная полутраектория, начинающаяся в d–окрест-
ности траектории 
( )
x t
при 
0
t
t

, содержится в 

– окрестности 
траектории. Здесь под траекторией понимается множество значений 
решения
( )
x t
, а под положительной полутраекторией – множество 
значений решения 
( )
x t
при
0
t
t

. Если решение 
( )
x t
устойчиво по 
Ляпунову, то его траектория орбитально устойчива. 
Траектория 
( )
x t
называется асимптотически орбитально 
устойчивой, если она орбитально устойчива и, кроме того, найдется 
0
0
d

такое, что траектория всякого решения 
( )
x t
системы (2), 
начинающегося в 
0
d
–окрестности траектории (то есть при 
0
(0)
( )
x
x t
d


) стремится при 
0
t

к траектории
( )
x t
. 
Периодическое решение системы (2) не бывает асимптотически 
устойчивым. Но если у периодического решения такой системы 
модули всех мультипликаторов, кроме одного, меньше единицы, 
то траектория этого периодического решения, согласно теореме 
Андронова–Витта [1], асимптотически орбитально устойчива. 
Уравнения Лагранжа второго рода для консервативных механи-
ческих систем позволяют использовать для оценки устойчивости вид 
функции П(q) для потенциальной энергии. Положения равновесия или 
возможного положения покоя находится из условий минимума 
по лагранжевым или обобщенным переменным:
0,
(
1, 2,..., ).
i
П
i
n
q




(3) 
Матрица вторых частных производных, которая вычисляется 
в положении равновесия, используется для оценки устойчивости. Для 
системы с одной степенью свободы требуется определить знак второй 
производной П(х) и выделить точки минимума. 
При наличии k циклических интегралов порядок системы 
уравнений уменьшается. Получается система уравнений с функцией 
Рауса R(q), а устойчивость оценивают для оставшихся обобщенных 
координат. 

---