Инновации в науке

 
 Инновации в науке
www.sibac.info № 11 (48), 2015 г. 
38 
Период линейного приближения не зависит от начальных 
условий. Поэтому малые колебания математического маятника будут 
изохронными. 
)
sin(
)
cos(
2
1
t
C
t
C





.
(7) 
Рисунок 4. Фазовый портрет для математического маятника 
 
Движение механической системы или положение покоя 
относительно неинерциальной системы отсчета учитывает силы 
инерции. Для случая движения материальной точки по направляющей, 
которая вращается с постоянной угловой скорость p = сonst вокруг 
вертикальной оси, получаем 
2
2
sin
cos sin .
p





 

(8) 
При наличии малых отклонений от положения относительного 
покоя или при действии возмущений и управлений система уравнений 
имеет вид: 
2
1
2
2
1
,
( , ),
x
x
x
x
f u t



 

(9) 
тогда решение представляет сумму общего решения однородного 
и частного решения неоднородного уравнения с учетом возмущений: 
*
*
1
1
1
2
sin(
)
,
cos(
)
.
x
a
t
x x
a
t
x
  

  

 

 
(10) 

---

 
Инновации в науке
№ 11 (48), 2015 г.   www.sibac.info 
39 
Для случая свободного движения материальной точки 
в однородном поле силы тяжести по поверхности сферы без учета 
действия других сил получим при использовании сферических 
координат систему уравнений: 
2
2
2
sin
cos sin ,
sin
.
p


 




 


(11) 
Циклический интеграл определяет изменение угловой скорости 
( )
f



при отклонении от вертикали, хотя траектория остается 
близкой к начальной. Получаем орбитальную устойчивость движения 
точки или устойчивость по части переменных. 
В механической системе существуют силы сопротивления 
движению, возникающие благодаря трению или вязкости среды [8]. 
Такие силы называют диссипативными. 
Теорема (Кельвин) утверждает: Диссипативные силы с полной 
диссипацией делают устойчивое положение равновесия или точки 
покоя асимптотически устойчивыми. 
Малые колебания для стационарного движения в окрестности 
устойчивого относительного положения равновесия также могут быть 
устойчивыми решениями (в некоторой области) для системы 
уравнений, но к ним нельзя применить теорему Кельвина. 
Теорема (Королев). Диссипативные силы делают устойчивое 
стационарное движение в окрестности устойчивого относительного 
положения равновесия или стационарного движения системы 
неустойчивым. 
Особенностью системы уравнений является существование 
первых интегралов, которые позволяют понизить порядок или 
проводить дальнейшее исследование устойчивости по упрощенным 
уравнениям для оставшихся фазовых переменных после исключения. 
Это позволяет получить критерии условной устойчивости по части 
переменных [3; 7; 17] для начальной системы, а также критерии 
устойчивости для упрощенной системы в первом приближении.