Инновации в науке

 
Инновации в науке
№ 11 (48), 2015 г.   www.sibac.info 
37 
является условно периодическим. В общем случае для системы 
дифференциальных 
уравнений 
в 
нормальной 
форме 
могут 
выполняться первые интегралы, которые определяют интегральные 
многообразия как пересечение соответствующих поверхностей. Это 
множество называют равновесным или стационарным режимом 
движения системы. 
Вопрос об устойчивости является одним из первых вопросов, 
возникающих при исследовании и проектировании систем управления. 
Наличие возмущений и управляющих воздействий может также влиять 
на свойства положений равновесия и возможные стационарные 
состояния. Для исследования этого влияния в математических моделях 
предлагаются модификации [6; 16] или дополнения, упрощающие 
оценку устойчивости выделенных решений.
Примеры устойчивости состояний равновесия. 
Наличие многих определений и критериев устойчивости может 
приводить к затруднениям или неправильному их использованию. 
Наиболее просто и наглядно методы исследования устойчивости 
решений демонстрируются на примере системы дифференциальных 
уравнений математического маятника при движении в вертикальной 
плоскости при действии силы тяжести:
2
2
sin ,
sin
0,
/ .
ml
mg
g l

  


 



(5) 
Потенциальная 
энергия 
задачи 
может 
иметь 
вид 



cos
)
(
2



. Это позволяет получить фазовые траектории 
с помощью интеграла энергии. 
Получаются особые точки, которые на фазовой плоскости 
окружают замкнутые кривые периодических колебаний. Находим 
состояния равновесия, равные значениям угла


k
2

, которым 
отвечают устойчивые положения в точках минимума, или 


)
1
2
(


k
, которым соответствуют неустойчивые положения.
Если ограничиваться линейным приближением, то уравнение 
превращается в уравнение гармонических колебаний или 
гармонического осциллятора 
0
2







.
(6) 

---