1.3-§. Bir argumentning funksiyalari qatnashgan
trigonometrik tenglamalar.
Hamma trigonometrik funksiyalarni sinx va cosx lar orqali ifodalash mumkin bo’lgani uchun, bir argumentning trigonometrik funksiyalariga nisbatan ratsional tenglamalarni
(40)
ko’rinishida yozish mumkin (bunda R ifoda sinx va cosx ga nisbatan ratsional funksiya).
(40) ko’rinishdagi tenglamalarni ga nisbatan ratsional bo’lgan tenglamalarga keltirib yechish mumkin.
8-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi: (-∞,+∞). sinx va cosx larni (21), (22) formulalardan foydalanib almashtirsak,
tenglamadan
Tenglamani hosil qilamiz. Buni yechsak,
dan yoki
dan
yoki
.
Lekin almashtirish natijasida berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi x=р(2k+1) ga kichraygan edi. x=р(2k+1) qiymatlarning berilgan tenglamaning yechimlari bo’lish-bo’lmasligini tekshiramiz. Buning uchun sinx va cosx larning davri 2р bo’lgani uchun x= р ni tekshirsak kifoya, ya’ni
yoki .
Demak, x=р(2k+1) tenglamaning yechimi bo’la olmaydi.
Javob: ;
9-misol. tenglamani yeching.
Yechish. Tenglamaning aniqlanish sohasi: (-∞,+∞). sinx va cosx larni ga almashtirib,
tenglamadan
yoki va tenglamalarni hosil qilamiz.
Bu tenglamalarni yechib,
va
larni topamiz. Lekin almashtirish natijasida berilgan tenglamaning aniqlanish sohasi x=р(2k+1) ga kichraygan edi. Tenglamani x= р da tekshiramiz, ya’ni
yoki .
Demak, x=р(2k+1) tenglamaning yechimlari emas.
Javob: , .
sinx, cosx tgx va ctgx larni ga almashtirish universal trigonometrik almashtirish deyiladi. Bu almashtirish faqat tenglamalarga boshqa almashtirishlarni ishlatish mumkin bo’lmagan hollardagina ishlatiladi, chunki natijada yuqori darajali tenglamalar hosil bo’lishi mumkin.
Do'stlaringiz bilan baham: |