Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

Theorem 2.  Let 
ε
  be an arbitrary real positive number and
1
+
⊂
n
R
S
ε
  be a smooth hypersurface 
given as the graph of a smooth function 
(
)
n
n
x
x
x
x
,...,
,
1
2
1
1
εφ
+
=
+
  and 
φ
  satisfies the conditions 
 
10 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
( )
0
0
=
φ
, 
( )
0
0
=
∇
φ
and 
( )
0
0
≠
φ
m
d
, where 
2
≥
m
. Then there exists a neighborhood  U  of  the
origin, such that for any fixed function 
( )
U
С
∞
∈
0
ψ
 and  for any  p>m  there exists a constant C
p 
>0  
such that the following estimate 
p
p
L
p
p
L
f
C
f
M
1
−
≤
ε
ε
 holds  for  all 
)
(
1
0
+
∞
∈
n
R
C
f
, where  C
p
 does not depend on 
ε
. 
2. Proof of the main results
Proof of  Theorem 1.  Without loss of generality we  assume that 
( )
0
0
2
1
2
≠
∂
∂
x
φ
.  Let us write the 
averaging operator 
ε
t
A
 in the form 
( )
(
)
(
)
(
) (
)
∫
+
−
−
−
=
+
n
R
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
f
y
f
A
...
,...,
,
,...,
,
 
1
,...,
,
2
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
ψ
εφ
ε
,  (2) 
where  t > 0, 
)
(
0
U
C
∞
∈
ψ
  is a fixed function, 
(
)
(
)
n
n
x
x
x
Ф
x
x
x
,...,
,
1
,...,
,
2
1
2
2
1
1
ψ
ε
ψ
⋅
∇
+
=
  and 
n
R
U
∈
 denotes the sufficiently small neighborhood  of  the origin.  For a small 
n
θ
 let us consider the 
following  equation 
(
)
(
)
0
cos
,...,
,
 
1
sin
2
1
=
+
+
n
n
n
n
x
x
x
x
θ
εφ
θ
   (3) 
with respect to x
n
. 
By the implicit function theorem we have that the last equation has an unique smooth solution 
)
,
,
,...,
,
(
1
2
1
ε
θ
n
n
n
x
x
x
x
−
for 
1
2
1
,...,
,
−
n
x
x
x
, 
n
θ
  and 
0
>
ε
  sufficiently small, such that 
(
)
0
0
,...,
0
,
0
=
n
x
and 
(
)
.
0
0
,...,
0
,
0
≠
∂
∂
n
n
x
θ
Thus, in the integral  (2)  we can use the following 
change of variables 
(
)
(
)
(
)
ε
θ
θ
,
,
,...,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−

and then obtain 
( )
(
)
(
)
(
) (
)
,
...
,
,
,...,
,
)
,
,
,...,
,
(
,...,
,
1
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
2
1
2
1
1
2
2
1
1
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
t
d
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
f
y
f
A
n
θ
ε
θ
ψ
ε
θ
εφ
ε
∫
−
−
−
+
+
−
−
−
=
     (4) 
where 
(
)
(
) (
)
ε
θ
ε
θ
ψ
ε
θ
ψ
,
,
,...,
,
)
,
,
,...,
,
(
,
,...,
,
:
,
,
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
=
and 
(
)
ε
θ
,
,
,...,
,
1
2
1
n
n
x
x
x
J
−
 denotes the Jacobian.  Let us write the integral (4) as an iterated integral 
( )
( )
∫
−
=
n
n
n
b
b
n
t
t
d
y
f
A
y
f
A
θ
θ
ε
,       
   (5) 
where  b
n
  is a positive number  and 
n
t
A
θ
 denotes the following averaging operator 
( )
(
)
(
)
(
) (
)
∫
−
−
−
−
+
+
−
−
−
=
1
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
2
2
1
1
....
,
,
,...,
,
,
,
,...,
,
1
,...,
,
:
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
f
y
f
A
ε
θ
ψ
ε
θ
εφ
θ
, 
where 
(
)
(
)
)
,
,
,...,
,
(
,...,
,
,
,
,...,
,
1
2
1
2
1
1
2
1
ε
θ
φ
ε
θ
φ
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
=
. 
   Now, we define the rotation operator in the form 
( )
)
sin
cos
,
cos
sin
,
,...,
,
(
:
1
1
1
2
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
R
n
θ
θ
θ
θ
θ
+
+
−
+
−
=
,       
which acts izometrically on 
( )
1
+
n
P
R
L
.
 The operator 
n
n
R
A
t
θ
θ
 can be written in the form 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
(
)
(
)
(
)
(
)
)
(
)
.
...
,
,
,...,
,
sin
,
,
,...,
,
1
cos
,
cos
,
,
,...,
,
1
sin
,
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
−
−
−
+
−
+
−
−
×
+
−
+
−
+
−
−
−
−
−
−
=
∫
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
x
x
x
t
y
tx
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
n
n
n
ε
θ
ψ
θ
ε
θ
εφ
θ
θ
ε
θ
εφ
θ
θ
θ
 
11 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
 Using the equation in (3) we have the following formula 
( )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
) (
)
.
...
,
,
,...,
,
sin
cos
,
cos
,
,
,...,
,
1
sin
,
,...,
,
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
−
−
+
−
+
−
−
+
+
−
−
−
−
−
−
=
∫
−
n
n
n
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
y
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
n
n
n
ε
θ
ψ
θ
θ
θ
ε
θ
εφ
θ
θ
θ
Then we obtain 
( )
(
)
(
)
(
)
.
...
,
,
,...,
,
,
cos
,
,
,...,
,
1
,
,
...
,
,
1
2
1
1
2
1
1
1
2
1
1
1
2
2
1
1
1
−
−
+
−
−
−
−
×
×






+
+
−
−
−
=
∫
−
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
R
n
n
n
n
ε
θ
ψ
θ
ε
θ
εφ
θ
θ
θ
   (6) 
   Now, for a small 
1
−
n
θ
 we consider the  equation 
(
)
(
)
0
cos
cos
,
,
,...,
,
1
sin
1
1
1
2
1
1
=
+
+
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
θ
θ
ε
θ
εφ
θ
      (7) 
with respect to x
n-1
. By the implicit function theorem we have that the equation (7) has an unique 
smooth solution 
)
,
,
,
,...,
,
(
1
2
2
1
1
ε
θ
θ
n
n
n
n
x
x
x
x
−
−
−
for  
2
2
1
,...,
,
−
n
x
x
x
,
1
−
n
θ
,
n
θ
  and 
0
>
ε
 
sufficiently small, such that 
(
)
0
0
,...,
0
,
0
1
=
−
n
x
 and  
(
)
.
0
0
,...,
0
,
0
1
1
≠
∂
∂
−
−
n
n
x
θ
  Then to  the integral  in (6) 
we use the change of variables as 
(
) (
)
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
θ
ε
θ
θ
θ
θ
),
,
,
,
,...,
,
(
,
,...,
,
,
,
,...,
,
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
−
−
−
−
−
−

andobtain that 
( )
(
)
(
)
(
)
,
...
,
,
,
,...,
,
,
cos
,
,
,
,...,
,
1
,
,
...
,
,
1
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
−
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
×
×






−
+
+
−
−
−
−
=
∫
−
n
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
d
dx
dx
dx
x
x
x
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
R
n
n
n
n
θ
ε
θ
θ
ψ
θ
ε
θ
θ
εφ
θ
θ
θ
(8) 
where 
(
)
(
)
(
)
ε
θ
ε
θ
θ
φ
ε
θ
θ
φ
,
,
,
,
,
,...,
,
,
,...,
,
,
,
,
,...,
,
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
=
, 
(
)
(
) (
)
ε
θ
θ
ε
θ
ε
θ
θ
ψ
ε
θ
θ
ψ
,
,
,
,...,
,
)
,
),
,
,
,
,...,
,
(
,
,...,
,
:
,
,
,
,...,
,
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
2
2
1
1
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
J
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
and 
(
)
ε
θ
θ
,
,
,
,...,
,
1
2
2
1
n
n
n
x
x
x
J
−
−
 denotes the Jacobian. 
Let us write the integral (8) as an iterated integral 
( )
( )
∫
−
−
−
−
−
−
=
1
1
1
1
n
n
n
n
n
n
b
b
n
t
t
d
y
f
A
y
f
R
A
R
θ
θ
θ
θ
θ
,       
  (9) 
where  b
n-1
> 0 and 
1
−
n
t
A
θ
 denotes the following averaging operator 
( )
(
)
(
)
(
)
.
...
,
,
,
,...,
,
,
cos
,
,
,
,...,
,
1
,
,
...
,
,
:
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
2
2
1
1
2
1
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
∫
−
−






+
+
−
−
−
=
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
A
n
n
ε
θ
θ
ψ
θ
ε
θ
θ
εφ
θ
        
Now, we define the rotation operator in the form 
( )
)
,
sin
cos
,
cos
sin
,
,...,
,
(
:
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
+
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
R
n
θ
θ
θ
θ
θ
,       
which acts izometrically on 
( )
1
+
n
P
R
L
.
Using the equation in (7) we can write the  operator  
1
1
−
−
n
n
R
A
t
θ
θ
 in the following form 
( )
(
)
(
)
(
)
) (
)
.
...
,
,
,
,...,
,
,
sin
cos
,
cos
cos
,
,
,
,...,
,
1
sin
,
,
...
,
,
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
+










+
+
−
−
−
−
−
=
∫
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
y
y
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
n
n
n
ε
θ
θ
ψ
θ
θ
θ
θ
ε
θ
θ
εφ
θ
θ
θ
By 
using 
similar 
arguments 
we 
have         
( )
(
)
(
)
(
)
.
...
,
,
,
,...,
,
,
,
cos
cos
,
,
,
,...,
,
1
,
,...,
,
2
2
1
1
2
2
1
1
1
1
1
2
2
1
1
1
2
2
2
2
1
1
2
1
1
1
−
−
−
−
+
−
−
−
−
−
−
−
−
×
×






+
−
−
−
−
=
∫
−
−
−
−
n
n
n
n
n
R
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
t
dx
dx
dx
x
x
x
y
y
x
x
x
t
y
tx
y
tx
y
tx
y
f
y
f
R
A
R
n
n
n
n
ε
θ
θ
ψ
θ
θ
ε
θ
θ
φ
ε
θ
θ
θ
Repeating  the process n-1  times we get for a small 
2
θ
, the following equation 
 
12