# Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

Download 5.04 Kb.

 bet 3/29 Sana 13.11.2017 Hajmi 5.04 Kb.
 Theorem 2.  Let  ε   be an arbitrary real positive number and 1 + ⊂ n R S ε   be a smooth hypersurface  given as the graph of a smooth function  ( ) n n x x x x ,..., , 1 2 1 1 εφ + = +   and  φ   satisfies the conditions    10  ILMIY AXBOROTNOMA          MATEMATIKA               2016-yil, 1-son  ( ) 0 0 = φ ,  ( ) 0 0 = ∇ φ and  ( ) 0 0 ≠ φ m d , where  2 ≥ m . Then there exists a neighborhood  U  of  the origin, such that for any fixed function  ( ) U С ∞ ∈ 0 ψ  and  for any  p>m  there exists a constant C p  >0   such that the following estimate  p p L p p L f C f M 1 − ≤ ε ε  holds  for  all  ) ( 1 0 + ∞ ∈ n R C f , where  C p  does not depend on  ε .  2. Proof of the main results Proof of  Theorem 1.  Without loss of generality we  assume that  ( ) 0 0 2 1 2 ≠ ∂ ∂ x φ .  Let us write the  averaging operator  ε t A  in the form  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ + − − − = + n R n n n n t dx dx dx x x x x x x t y tx y tx y f y f A ... ,..., , ,..., ,   1 ,..., , 2 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 ψ εφ ε ,  (2)  where  t > 0,  ) ( 0 U C ∞ ∈ ψ   is a fixed function,  ( ) ( ) n n x x x Ф x x x ,..., , 1 ,..., , 2 1 2 2 1 1 ψ ε ψ ⋅ ∇ + =   and  n R U ∈  denotes the sufficiently small neighborhood  of  the origin.  For a small  n θ  let us consider the  following  equation  ( ) ( ) 0 cos ,..., ,   1 sin 2 1 = + + n n n n x x x x θ εφ θ    (3)  with respect to x n .  By the implicit function theorem we have that the last equation has an unique smooth solution  ) , , ,..., , ( 1 2 1 ε θ n n n x x x x − for  1 2 1 ,..., , − n x x x ,  n θ   and  0 > ε   sufficiently small, such that  ( ) 0 0 ,..., 0 , 0 = n x and  ( ) . 0 0 ,..., 0 , 0 ≠ ∂ ∂ n n x θ Thus, in the integral  (2)  we can use the following  change of variables  ( ) ( ) ( ) ε θ θ , , ,..., , , ,..., , , ,..., , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 n n n n n n x x x x x x x x x x − − −  and then obtain  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) , ... , , ,..., , ) , , ,..., , ( ,..., , 1 ,..., , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 n R n n n n n n n n t d dx dx dx x x x x x x x x x t y tx y tx y f y f A n θ ε θ ψ ε θ εφ ε ∫ − − − + + − − − =      (4)  where  ( ) ( ) ( ) ε θ ε θ ψ ε θ ψ , , ,..., , ) , , ,..., , ( , ,..., , : , , ,..., , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 n n n n n n n n n x x x J x x x x x x x x x x − − − − = and  ( ) ε θ , , ,..., , 1 2 1 n n x x x J −  denotes the Jacobian.  Let us write the integral (4) as an iterated integral  ( ) ( ) ∫ − = n n n b b n t t d y f A y f A θ θ ε ,           (5)  where  b n   is a positive number  and  n t A θ  denotes the following averaging operator  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ∫ − − − − + + − − − = 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 1 .... , , ,..., , , , ,..., , 1 ,..., , : n n R n n n n n n n n t dx dx dx x x x x x x t y tx y tx y f y f A ε θ ψ ε θ εφ θ ,  where  ( ) ( ) ) , , ,..., , ( ,..., , , , ,..., , 1 2 1 2 1 1 2 1 ε θ φ ε θ φ n n n n n n x x x x x x x x x − − = .     Now, we define the rotation operator in the form  ( ) ) sin cos , cos sin , ,..., , ( : 1 1 1 2 1 n n n n n n n n n x x x x x x x f x f R n θ θ θ θ θ + + − + − = ,        which acts izometrically on  ( ) 1 + n P R L .  The operator  n n R A t θ θ  can be written in the form  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) . ... , , ,..., , sin , , ,..., , 1 cos , cos , , ,..., , 1 sin , ,..., , 1 2 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 − − − + − + − − × + − + − + − − − − − − = ∫ − n n n n n n n n n n n n R n n n n n n n n n n t dx dx dx x x x x x x t y tx y x x x t y tx y tx y tx y tx y f y f R A n n n ε θ ψ θ ε θ εφ θ θ ε θ εφ θ θ θ   11  ILMIY AXBOROTNOMA          MATEMATIKA               2016-yil, 1-son   Using the equation in (3) we have the following formula  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) . ... , , ,..., , sin cos , cos , , ,..., , 1 sin , ,..., , 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 − − + − + − − + + − − − − − − = ∫ − n n n n n n n n R n n n n n n n n n n t dx dx dx x x x y y x x x t y tx y tx y tx y tx y f y f R A n n n ε θ ψ θ θ θ ε θ εφ θ θ θ Then we obtain  ( ) ( ) ( ) ( ) . ... , , ,..., , , cos , , ,..., , 1 , , ... , , 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 1 2 2 1 1 1 − − + − − − − × ×       + + − − − = ∫ − n n n n R n n n n n n n n t dx dx dx x x x y x x x t y tx y tx y tx y f y f R A R n n n n ε θ ψ θ ε θ εφ θ θ θ    (6)     Now, for a small  1 − n θ  we consider the  equation  ( ) ( ) 0 cos cos , , ,..., , 1 sin 1 1 1 2 1 1 = + + − − − − − n n n n n n n x x x x θ θ ε θ εφ θ       (7)  with respect to x n-1 . By the implicit function theorem we have that the equation (7) has an unique  smooth solution  ) , , , ,..., , ( 1 2 2 1 1 ε θ θ n n n n x x x x − − − for   2 2 1 ,..., , − n x x x , 1 − n θ , n θ   and  0 > ε   sufficiently small, such that  ( ) 0 0 ,..., 0 , 0 1 = − n x  and   ( ) . 0 0 ,..., 0 , 0 1 1 ≠ ∂ ∂ − − n n x θ   Then to  the integral  in (6)  we use the change of variables as  ( ) ( ) n n n n n n n n n x x x x x x x x x x θ ε θ θ θ θ ), , , , ,..., , ( , ,..., , , , ,..., , 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 − − − − − −  andobtain that  ( ) ( ) ( ) ( ) , ... , , , ,..., , , cos , , , ,..., , 1 , , ... , , 1 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 − − − − − + − − − − − − × ×       − + + − − − − = ∫ − n n n n n n R n n n n n n n n n t d dx dx dx x x x y x x x t y tx y tx y tx y f y f R A R n n n n θ ε θ θ ψ θ ε θ θ εφ θ θ θ (8)  where  ( ) ( ) ( ) ε θ ε θ θ φ ε θ θ φ , , , , , ,..., , , ,..., , , , , ,..., , 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n x x x x x x x x x x − − − − − − − = ,  ( ) ( ) ( ) ε θ θ ε θ ε θ θ ψ ε θ θ ψ , , , ,..., , ) , ), , , , ,..., , ( , ,..., , : , , , ,..., , 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 n n n n n n n n n n n n n n x x x J x x x x x x x x x x − − − − − − − − − = and  ( ) ε θ θ , , , ,..., , 1 2 2 1 n n n x x x J − −  denotes the Jacobian.  Let us write the integral (8) as an iterated integral  ( ) ( ) ∫ − − − − − − = 1 1 1 1 n n n n n n b b n t t d y f A y f R A R θ θ θ θ θ ,          (9)  where  b n-1 > 0 and  1 − n t A θ  denotes the following averaging operator  ( ) ( ) ( ) ( ) . ... , , , ,..., , , cos , , , ,..., , 1 , , ... , , : 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 1 1 2 1 − − − − + − − − − − ∫ − −       + + − − − = n n n n n R n n n n n n n n n t dx dx dx x x x y x x x t y tx y tx y tx y f y f A n n ε θ θ ψ θ ε θ θ εφ θ          Now, we define the rotation operator in the form  ( ) ) , sin cos , cos sin , ,..., , ( : 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 + − − − − − − − + − = − n n n n n n n n n n x x x x x x x x f x f R n θ θ θ θ θ ,        which acts izometrically on  ( ) 1 + n P R L . Using the equation in (7) we can write the  operator   1 1 − − n n R A t θ θ  in the following form  ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) . ... , , , ,..., , , sin cos , cos cos , , , ,..., , 1 sin , , ... , , 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 − − − − + − − − − − − − − − − − − +           + + − − − − − = ∫ − − − n n n n n n n n n n R n n n n n n n n n n n n t dx dx dx x x x y y y x x x t y tx y tx y tx y tx y f y f R A n n n ε θ θ ψ θ θ θ θ ε θ θ εφ θ θ θ By  using  similar  arguments  we  have          ( ) ( ) ( ) ( ) . ... , , , ,..., , , , cos cos , , , ,..., , 1 , ,..., , 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 − − − − + − − − − − − − − × ×       + − − − − = ∫ − − − − n n n n n R n n n n n n n n n n n t dx dx dx x x x y y x x x t y tx y tx y tx y f y f R A R n n n n ε θ θ ψ θ θ ε θ θ φ ε θ θ θ Repeating  the process n-1  times we get for a small  2 θ , the following equation    12  Do'stlaringiz bilan baham:

Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling