Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

Лемма 2. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
удовлетворяет условия 1 и 2 леммы 1. 
 
Тогда 
а)   В:  
p
p
I
I
→
в)  при любых  
p
I
u
u
∈
2
1
,
имеет место неравенство: 
p
p
p
I
I
I
u
u
A
D
Bu
Bu
2
1
2
1
−
≤
−
Доказательство.  Справедливость  первый  части  леммы  следует  из  леммы  1  и  теоремы  3  об 
инвариантности   
p
I
 
относительно бисингулярного оператора А. 
Докажем   вторую часть леммы. Учитывая лемму 1 и равенство 
Afu
Bu
=
. 
где 
p
p
p
p
p
p
I
I
I
I
I
I
u
u
A
D
fu
fu
A
Afu
Afu
Bu
Bu
2
1
2
1
2
1
2
1
−
≤
−
≤
−
=
−
Из леммы 2 и принципа сжатых отображений вытекает 
Теорема 4. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
удовлетворяет условиям I и 2 леммы 1. 
Тогда, если 
p
I
A
D
1
<
λ
, 
уравнение (1) имеет единственное решение в 
p
I
  
и это решение можно найти методом последовательных приближений, 
начиная с любого  элемента 
p
I
. 
Пользуясь  теоремой  об  ограниченности  оператора  А  ([3])  в 
)
(
ρ
p
L
доказывается 
следующая теорема. 
Теорема  5.  Пусть  функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
удовлетворяет  условию  1  из  леммы.  1  и 
 
20 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
p
I
s
s
f
∈
)
0
,
,
(
2
1
. 
Тогда, если 
p
I
A
D
1
<
λ
то уравнение (1) имеет единственное решение в 
)
(
ρ
p
L
и это решение можно найти   методом 
последовательных   приближении,   начиная   с  любого   элемента 
)
(
ρ
p
L
. 
Последовательные 
приближения сходятся в метрике  
)
(
ρ
p
L
. 
Рассмотрим бисингулярный интеграл вида: 
??????�(??????
1
, ??????
2
) = � �
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
  ,
??????
1
??????
1
 
где функция 
?????? ?????? ??????
??????
(∆), ?????? > 1   ∆= (??????
1
, ??????
1
; ??????
2
, ??????
2
). 
Введем характеристики: 
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
) = � � � |??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
+??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
, 
Ω
??????,2
(??????, ??????
1
, ??????
2
) = � �
� |??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
??????
2
−??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
, 
Ω
??????,3
(??????, ??????
1
, ??????
2
) = � � � |??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
+??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
�
1
??????
, 
Ω
??????,4
(??????, ??????
1
, ??????
2
) = � � � |??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
??????
2
−??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
�
1
??????
, 
. 
Пользуясь  доказана следующая 
Теорема  1.  Пусть  u ϵ L
p
(∆).  Тогда  при  сходимости  соответствующих  интегралов  справедливо 
неравенство 
??????
??????,??????
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) ≤ ??????
??????
1
((??????
1
??????
2
)
1
??????
� �
??????
??????,??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
??????
2
)
1+1??????
??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
??????
1
+ 
+(??????
1
??????
2
)
1
??????
�
??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
2
)
1+1??????
????????????
2
??????
1
??????
2
+ (??????
1
??????
2
)
1
??????
�
??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
)
1+1??????
????????????
1
??????
1
??????
1
+ 
+(??????
1
??????
2
)
1
??????
??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)), 
при  
??????
?????? 
??????  �0,
??????
??????
4
� , ?????? = 1,2 , 
??????
??????,??????
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) ≤ ??????
??????
2
(??????
1
1
??????
�
??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
)
1+1??????
????????????
1
??????
1
??????
1
+ 
+(??????
1
)
1
??????
??????
??????,??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)), 
 ??????
1 
??????  �0,
??????
1
4� , ??????
2 
??????  �
??????
2
4 , ??????
2
�, 
 
21 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
??????
??????,??????
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) ≤ ??????
??????
3
(??????
2
1
??????
�
??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
2
)
1+1??????
????????????
2
??????
2
??????
2
+ 
+(??????
2
)
1
??????
??????
??????,??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)), 
 ??????
1 
??????  �
??????
1
4 , ??????
1
� , ??????
2 
??????  �0,
??????
2
4�,
 
Ω
??????,??????
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) ≤ ??????
??????
4
Ω
??????,??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
),       ??????
?????? 
??????  �
??????
??????
4 , ??????
??????
� , ?????? = 1,2 , 
где постоянные  зависят лишь от  . 
Доказательство. Пусть.    представим в следующим виде: 
??????�(??????
1
, ??????
2
) = �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
+2??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
+ 
+ �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
+ 
+ �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
+2??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
??????
1
+2??????
1
+ 
+ �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
??????
1
+2??????
1
= � ??????
??????
4
??????=1
(??????
1
, ??????
2
) 
Следовательно, 
 Ω
??????,1
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) ≤ � � � �� ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)
4
??????=1
�
??????
??????
2
+??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ � � �
� |??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
+??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
4
??????=1
= � ??????
??????
4
1
 
В силу теоремы М.Рисса 
??????
1
= � �
� |??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)|
??????
??????
2
+??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
= 
= � �
� � �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
+2??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
????????????
1
????????????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ � �
� � �
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
)
??????
2
+2??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
??????
2
+2??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ ??????
??????
‖??????‖
??????
??????
[??????
1
,??????
1
+2??????
1
;??????
2
,??????
2
+2??????
2
]
= ??????
??????
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, 2??????
2
) 
так как  неубывающие функции по  то при 
??????
?????? 
??????  �0,
??????
??????
4
� , ?????? = 1,2,
 
22 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
(??????
1
??????
2
)
1
??????
� �
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
??????
2
)
1+1??????
????????????
1
????????????
2
≥
??????
2
2ξ
2
??????
1
2ξ
1
 
≥ (ξ
1
ξ
2
)
1
??????
Ω
??????,1
(??????, 2ξ
1
, 2ξ
2
) ∙ ?????? ∙
??????
1
1
??????
− (2??????
1
)
1
??????
(2??????
1
)
1
??????
??????
1
1
??????
∙ ?????? ∙
??????
2
1
??????
− (2??????
2
)
1
??????
(2??????
2
)
1
??????
??????
2
1
??????
≥ 
≥
??????
2
�2
1
??????
− 1�
2
16
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, 2??????
2
). 
Отсюда,. 
Теперь, оценим . Учитывая, что  при 
 
находим 
??????
2
= ��
�
��
�
??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
) ????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
= 
= ��
�
��
??????(??????
2
, ??????
1
)
??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2
�
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ ��
�
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2
�
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ ��
�
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
????????????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
�
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
=
= ??????
2
1
??????
��
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2
�
??????
????????????
1
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
2
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
1
??????
=
??????
2
??????
2
+2??????
2
 
= ??????
2
1
??????
�
??????(??????
2
)
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
????????????
2
,
??????
2
??????
2
+2??????
2
 
где 
??????(??????
2
, ??????
1
) = ∫
??????(??????
1
,??????
2
)
??????
1
−??????
1
????????????
1
,    ??????(??????
2
) = �∫
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
??????
1
+2??????
1
??????
1
????????????
1
�
1
??????
.
??????
1
+2??????
1
??????
1
 
Делая замену 
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
= ??????
2
, имеем 
??????
2
= ??????
2
1
??????
�
??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)
??????
2
????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
= 
= ??????
2
1
??????
�
??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
) ��
????????????
??????
2
+
1
??????
2
− ??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� ????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
= 
= ??????
2
1
??????
��
??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
 �
????????????
??????
2
+
1
??????
2
− ??????
2
�
??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� 
Применяя первому слагаемому формулу Дирихле, а второму неравенство Гельдера  получим 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� ??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
??????
2
+ 
+
??????
2
1
??????
(??????
2
− 2??????
2
)
(??????
2
− ??????
2
) ��
??????
??????
(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
�
1
??????
 
23 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Применяя  опять  неравенство  Гельдера  во  внутреннем  интеграле  первого  слагаемого  и  далее 
делая замену  будем иметь 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
??????
2
�� |??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)|
??????
????????????
2
??????
??????
2
�
1
??????
??????
1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
 
+
??????
2
1
??????
(??????
2
− ??????
2
)
1
??????
��
|??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)|
??????
????????????
??????
2
−??????
2
??????
2
�
1
??????
= 
= ??????
2
1
??????
�
????????????
??????
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
2
+??????
??????
2
+2??????
2
�
1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
1
??????
(??????
2
− ??????
2
)
1
??????
��
|??????(??????)|
??????
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????�
1
??????
≤ 
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
??????
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
2
+??????
2
??????
2
�
1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� |??????(??????)|
??????
??????
2
??????
2
????????????�
1
??????
. 
Применяя подстановку 
??????
2
+ ??????
2
= ??????
2
 
находим 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
??????
2
�
1
??????
+
??????
2
2??????
2
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� |??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
??????
2
�
1
??????
= 
= ??????
2
1
??????
�
????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��
�
��
??????(??????
1
, ??????)
??????
1
− ??????
1
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
????????????
1
????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
+??????
??????
2
�
1
??????
??????
2
2??????
2
+
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� ��
��
??????(??????
1
, ??????)
??????
1
− ??????
1
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
????????????????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1
�
??????
2
??????
2
�
1
??????
В силу теоремы Рисса  имеем 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????
�
????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��
�
|??????(??????, ??????)|
??????
????????????????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
+??????
??????
2
�
1
??????
+
??????
2
2??????
2
 
+
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� �
|??????(??????, ??????)|
??????
????????????????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
??????
2
�
1
??????
= 
= ??????
2
1
??????
�
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????)
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
??????
2
2??????
2
???????????? +
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????
2
) 
Так как 
??????
2
− ??????
2
≥
??????
2
2
, при 
??????
2
≥ 2??????
2
, то 
??????
2
≤ ??????
??????
�??????
2
1
??????
�
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????)
??????
1+1??????
???????????? + ??????
2
1
??????
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????
2
)
??????
2
2??????
2
� ≤ 
≤ ??????
??????
�(??????
1
??????
2
)
1
??????
� �
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
??????
2
)
1+1??????
??????
2
2??????
2
????????????
1
????????????
2
+ (??????
1
??????
2
)
1
??????
�
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
??????
1
1+1??????
????????????
1
??????
1
2??????
1
??????
1
2??????
1
�, 
 
24