Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal
Download 5.04 Kb. Pdf ko'rish
|
- Bu sahifa navigatsiya:
- ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son
- Определение.
|
ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son ?????? 2 ≤ ?????? 2 + ?????? 2 находим ?????? 2 = �� � �� � ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 − ?????? 1 )(?????? 2 − ?????? 2 ) ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = = �� � �� ??????(?????? 2 , ?????? 1 ) ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ �� � �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ �� � �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 � ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? �� �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ???????????? 2 � ?????? ???????????? 1 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? 2 ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 �� |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? = ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 ) ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 ???????????? 2 , ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 где ??????(?????? 2 , ?????? 1 ) = ∫ ??????(?????? 1 ,?????? 2 ) ?????? 1 −?????? 1 ???????????? 1 , ??????(?????? 2 ) = �∫ |??????(?????? 2 , ?????? 1 )| ?????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ???????????? 1 � 1 ?????? . ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 Делая замену ?????? 2 − ?????? 2 − ?????? 2 = ?????? 2 , имеем ?????? 2 = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 ) ?????? 2 ???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 = = ?????? 2 1 ?????? � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 ) �� ???????????? ?????? 2 + 1 ?????? 2 − ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � ???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 = = ?????? 2 1 ?????? �� ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 � ???????????? ?????? 2 + 1 ?????? 2 − ?????? 2 � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � Применяя первому слагаемому формулу Дирихле, а второму неравенство Гельдера получим ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � ??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? ?????? 2 + + ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − 2?????? 2 ) (?????? 2 − ?????? 2 ) �� ?????? ?????? (?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )???????????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? Применяя опять неравенство Гельдера во внутреннем интеграле первого слагаемого и далее делая замену ?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 = ?????? будем иметь ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 2 �� |??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )| ?????? ???????????? 2 ?????? ?????? 2 � 1 ?????? ?????? 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 + ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − ?????? 2 ) 1 ?????? �� |??????(?????? 2 + ?????? 2 + ?????? 2 )| ?????? ???????????? ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = 17 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son = ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? 2 +?????? ?????? 2 +2?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 ?????? 2 1 ?????? (?????? 2 − ?????? 2 ) 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ?????? 2 ?????? 2 +2?????? 2 ????????????� 1 ?????? ≤ ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? ?????? 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 −?????? 2 ?????? 2 �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ?????? 2 ?????? 2 ????????????� 1 ?????? . Применяя подстановку ?????? 2 + ?????? 2 = ?????? 2 находим ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 2?????? 2 �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� |??????(??????)| ?????? ???????????? ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� � �� ??????(?????? 1 , ??????) ?????? 1 − ?????? 1 ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????? 1 ???????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? ?????? 2 2?????? 2 + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� �� �� ??????(?????? 1 , ??????) ?????? 1 − ?????? 1 ???????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? ???????????????????????? 1 ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 � ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? В силу теоремы Рисса имеем ?????? 2 ≤ ?????? 2 1 ?????? � ???????????? (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? �� � |??????(??????, ??????)| ?????? ???????????????????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 +?????? ?????? 2 � 1 ?????? + ?????? 2 2?????? 2 + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? �� � |??????(??????, ??????)| ?????? ???????????????????????? ?????? 1 +2?????? 1 ?????? 1 ?????? 2 ?????? 2 � 1 ?????? = = ?????? 2 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ??????) (?????? − ?????? 2 ) 1+1?????? ?????? 2 2?????? 2 ???????????? + �43� 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? ?????? 2 1 ?????? Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ?????? 2 ) Так как ?????? 2 − ?????? 2 ≥ ?????? 2 2 , при ?????? 2 ≥ 2?????? 2 , то ?????? 2 ≤ ?????? ?????? �?????? 2 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ??????) ?????? 1+1?????? ???????????? + ?????? 2 1 ?????? Ω ??????,1 (??????, 2?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 2 2?????? 2 � ≤ ≤ ?????? ?????? �(?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � � Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? 1 ?????? 2 ) 1+1?????? ?????? 2 2?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 + (?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? � Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 1 1+1?????? ???????????? 1 ?????? 1 2?????? 1 ?????? 1 2?????? 1 �, где постоянная зависит лишь от ??????, ?????? 1 , ?????? 2 . ?????? 3 , ?????? 4 - оценивается аналогично, а также аналогично оценивается Ω ??????,?????? (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ), (?????? = 2,3,4). Пусть теперь ?????? ?????? ∈ � ?????? ?????? 4 , ?????? ?????? � , (?????? = 1,2). Tогда в силу теоремы М.Рисса ?????? ??????,1 (??????�, ?????? 1 , ?????? 2 ) = �� � |??????�(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 +?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 +?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ 18 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son ≤ �� � |??????�(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? ≤ ?????? ?????? ‖??????‖ ?????? ?????? (Δ) = ?????? ?????? Ω ??????,1 (??????, ?????? 1 , ?????? 2 ). Пусть ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) (?????? = 1,4 ����) измеримые на Δ 1 = [0, ?????? 1 ; 0, ?????? 2 ] почти всюду положительные и ?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ??????(Δ 1 ) (?????? = 1,4 ����). Тогда очевидна, что для любого ?????? ?????? ∈ (0, ?????? ?????? ] (?????? = 1,2) ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ??????(Δ 2 ), Δ 2 = [?????? 1 , ?????? 1 ; ?????? 2 , ?????? 2 ] справедливость этого следует из неравенства ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) = ?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ?????? 1 ?????? 2 ≤ 1 ?????? 1 ?????? 2 �?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )�, при (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ∆ 2 . Обозначим ?????? ?????? = ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 , ?????? 3 , ?????? 4 ) = = �?????? ∈ ?????? ?????? (∆): ∫ ∫ Ω ??????,?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 0 < +∞, ?????? = 1,4 ���� ?????? 1 0 �. Множество ?????? ?????? в норме ‖??????‖ ?????? ?????? = ?????????????????? � ?????? �� � Ω ??????,?????? ?????? (??????, ?????? 1 , ?????? 2 )?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 0 ?????? 1 0 � 1 ?????? , ?????? = 1,4 ���� является нормированным пространством. Определение. Пусть ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) - почти всюду конечная и отличная от нуля измеримая функция на Δ. Если определенная на Δ функция ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) измерима, а функция |??????(?????? 1 , ?????? 2 )??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? интегрируема (по Лебегу) на Δ, то говорят, что ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) принадлежат классу ?????? ?????? (??????). Множество ?????? ?????? (??????) в норме ‖??????‖ ?????? ?????? (??????) = �� � |??????(?????? 1 , ?????? 2 )??????(?????? 1 , ?????? 2 )| ?????? ???????????? 1 ???????????? 2 ?????? 2 ?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 � 1 ?????? является банаховым пространством. Теорема 2. ?????? ?????? = ?????? ?????? (??????) и нормы эквивалентны, где ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) = �� ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) 4 ??????=1 � 1 ?????? , ?????? 1 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 1 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 1 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 2 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 2 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 2 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 3 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 3 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 3 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? 4 (?????? 1 , ?????? 2 ) = � � ?????? 4 (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 + ?????? 4 , ?????? 2 ?????? 2 −?????? 2 ?????? 1 ?????? 1 −?????? 1 ?????? ?????? (?????? = 1,4 ����) некоторые положительные постоянные. Пусть ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )-измеримая почти всюду положительная функция на Δ 1 , ?????? 1 ?????? 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ ??????(Δ 1 ) и для почти всех (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ Δ 1 � � ?????? 1 ?????? 2 ?????? 2 0 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )???????????? 1 ???????????? 2 = ?????? �?????? 1 2 ?????? 2 2 ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 )� ?????? 1 0 Класс таких функций обозначим через Ψ. Теорема 3. Если ?????? ?????? (?????? 1 , ?????? 2 ) ∈ Ψ, (?????? = 1,4 ����), то бисингулярный оператор ??????� действует в ?????? ?????? и ограничен. Доказательство теоремы вытекает из теоремы 1 и определения класса Ψ. Легко проверить, что функция ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) = (?????? 1 ?????? 2 ) 1 ?????? (?????? > −2) принадлежит класса Ψ. 19 ILMIY AXBOROTNOMA MATEMATIKA 2016-yil, 1-son Методом последовательных приближений доказана разрешимость нелинейного бисингулярного интегрального уравнения ??????(?????? 1 , ?????? 2 ) = λ ∫ ∫ ??????(?????? 1 ,?????? 2 ,??????(?????? 1 ,?????? 2 )) (?????? 1 −?????? 1 )(?????? 2 −?????? 2 ) ?????? 2 ?????? 2 ???????????? 1 ???????????? 2 , ?????? 1 ?????? 1 (1) в p I где функция ) , , ( 2 1 u s s f определена на ) ; ( ) , ( ) , ( 2 2 1 1 +∞ −∞ x b a x b a , а λ - действительный параметр. Лемма 1. Пусть функция ) , , ( 2 1 u s s f удовлетворяет условиям: 1. Для почти всех 2 , 1 ), , ( 1 = ∈ k b a s k k k и при любых 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 ) , , ( ) , , ( ), ; ( , u u D u s s f u s s f u u − ≤ − +∞ −∞ ∈ , где D - положительная постоянная; 2. p I s s f ∈ ) 0 , , ( 2 1 Тогда а) оператор )) , ( , , ( ) , )( ( 2 1 , 2 1 2 1 s s u s s f s s fu = действует в p I в) при любых p I u u ∈ 2 1 , , p p I I u u D fu fu 2 1 2 1 − ≤ − , Рассмотрим следующие операторы ) , )( ( 2 1 x x Bu ∫ ∫ − − = 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 , 2 1 ) )( ( )) , ( , , ( b a b a ds ds x s x s s s u s s f = ) , )( ( 2 1 x x Av ∫ ∫ − − 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1 2 1 ) )( ( ) , ( b a b a ds ds x s x s s s v Download 5.04 Kb. Do'stlaringiz bilan baham: 
|