Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal


Download 5.04 Kb.

bet5/29
Sana13.11.2017
Hajmi5.04 Kb.
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
 
??????
2
≤ ??????
2
+ ??????
2
 
находим 
??????
2
= ��

��

??????(??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
− ??????
1
)(??????
2
− ??????
2
) ????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
??????
1
+2??????
1
??????
1

??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????

= ��

��
??????(??????
2
, ??????
1
)
??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2

??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????
≤ 
≤ ��

��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2

??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????
≤ 
≤ ��

��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
????????????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2

??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????

= ??????
2
1
??????
��
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????
2

??????
????????????
1
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????
≤ 
≤ ??????
2
1
??????

????????????
2
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
��
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1

1
??????
=
??????
2
??????
2
+2??????
2
 
= ??????
2
1
??????

??????(??????
2
)
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
????????????
2
,
??????
2
??????
2
+2??????
2
 
где 
??????(??????
2
, ??????
1
) = ∫
??????(??????
1
,??????
2
)
??????
1
−??????
1
????????????
1
,    ??????(??????
2
) = �∫
|??????(??????
2
, ??????
1
)|
??????
??????
1
+2??????
1
??????
1
????????????
1

1
??????
.
??????
1
+2??????
1
??????
1
 
Делая замену 
??????
2
− ??????
2
− ??????
2
= ??????
2
, имеем 
??????
2
= ??????
2
1
??????

??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)
??????
2
????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2

= ??????
2
1
??????

??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
) ��
????????????
??????
2
+
1
??????
2
− ??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� ????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2

= ??????
2
1
??????
��
??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
 �
????????????
??????
2
+
1
??????
2
− ??????
2

??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� 
Применяя  первому  слагаемому  формулу  Дирихле,  а  второму  неравенство  Гельдера 
получим 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????

????????????
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
2
� ??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
??????
2
+ 
+
??????
2
1
??????
(??????
2
− 2??????
2
)
(??????
2
− ??????
2
) ��
??????
??????
(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)????????????
2
??????
2
−??????
2
??????
2

1
??????
Применяя  опять  неравенство  Гельдера  во  внутреннем  интеграле  первого  слагаемого  и 
далее делая замену 
??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
= ?????? будем иметь 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????

????????????
??????
2
�� |??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)|
??????
????????????
2
??????
??????
2

1
??????
??????
1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
 
+
??????
2
1
??????
(??????
2
− ??????
2
)
1
??????
��
|??????(??????
2
+ ??????
2
+ ??????
2
)|
??????
????????????
??????
2
−??????
2
??????
2

1
??????

 
17 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
= ??????
2
1
??????

????????????
??????
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
2
+??????
??????
2
+2??????
2

1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
??????
2
1
??????
(??????
2
− ??????
2
)
1
??????
��
|??????(??????)|
??????
??????
2
??????
2
+2??????
2
????????????�
1
??????
≤ 
≤ ??????
2
1
??????

????????????
??????
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
2
+??????
2
??????
2

1
??????
+
??????
2
−??????
2
??????
2
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� |??????(??????)|
??????
??????
2
??????
2
????????????�
1
??????

Применяя подстановку 
??????
2
+ ??????
2
= ??????
2
 
находим 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????

????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��
|??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
+??????
??????
2

1
??????
+
??????
2
2??????
2
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� |??????(??????)|
??????
????????????
??????
2
??????
2

1
??????
= 
= ??????
2
1
??????

????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��

��
??????(??????
1
, ??????)
??????
1
− ??????
1
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1

??????
????????????
1
????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
+??????
??????
2

1
??????
??????
2
2??????
2
+
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� ��
��
??????(??????
1
, ??????)
??????
1
− ??????
1
????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1

??????
????????????????????????
1
??????
1
+2??????
1
??????
1

??????
2
??????
2

1
??????
В силу теоремы Рисса  имеем 
??????
2
≤ ??????
2
1
??????

????????????
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
��

|??????(??????, ??????)|
??????
????????????????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
+??????
??????
2

1
??????
+
??????
2
2??????
2
+
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
�� �
|??????(??????, ??????)|
??????
????????????????????????
??????
1
+2??????
1
??????
1
??????
2
??????
2

1
??????

= ??????
2
1
??????

Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????)
(?????? − ??????
2
)
1+1??????
??????
2
2??????
2
???????????? +
�43�
1
??????
??????
2
1
??????
??????
2
1
??????
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????
2
) 
Так как 
??????
2
− ??????
2

??????
2
2
, при 
??????
2
≥ 2??????
2
, то 
??????
2
≤ ??????
??????
�??????
2
1
??????

Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????)
??????
1+1??????
???????????? + ??????
2
1
??????
Ω
??????,1
(??????, 2??????
1
, ??????
2
)
??????
2
2??????
2
� ≤ 
≤ ??????
??????
�(??????
1
??????
2
)
1
??????
� �
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
(??????
1
??????
2
)
1+1??????
??????
2
2??????
2
????????????
1
????????????
2
+ (??????
1
??????
2
)
1
??????

Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
)
??????
1
1+1??????
????????????
1
??????
1
2??????
1
??????
1
2??????
1
�, 
где постоянная зависит лишь от 
??????, ??????
1
, ??????
2

??????
3
, ??????
4
 - 
оценивается аналогично, а также аналогично оценивается 
Ω
??????,??????
(??????�, ??????
1
, ??????
2
),    (?????? = 2,3,4). 
Пусть теперь 
??????
??????
∈ �
??????
??????
4
, ??????
??????
� , (?????? = 1,2). Tогда в силу теоремы  М.Рисса 
??????
??????,1
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) = ��

|??????�(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1

1
??????
 
 
18 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
≤ �� � |??????�(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
??????
1
??????
1

1
??????
≤ ??????
??????
‖??????‖
??????
??????
(Δ)
= ??????
??????
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
). 
Пусть 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)  (?????? = 1,4
����) измеримые на Δ
1
= [0, ??????
1
; 0, ??????
2
] почти всюду положительные и 
??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) ∈ ??????(Δ
1
)   (?????? = 1,4
����). Тогда очевидна, что для любого ??????
??????
∈ (0, ??????
??????
]   (?????? = 1,2) 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) ∈ ??????(Δ
2
), Δ
2
= [??????
1
, ??????
1
; ??????
2
, ??????
2
] 
справедливость этого следует из неравенства 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) =
??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)
??????
1
??????
2

1
??????
1
??????
2
�??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)�, 
при 
(??????
1
, ??????
2
) ∈ ∆
2

Обозначим 
??????
??????
= ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
, ??????
3
, ??????
4
) = 
= �?????? ∈ ??????
??????
(∆): ∫ ∫ Ω
??????,??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
??????
2
0
< +∞, ?????? = 1,4
����
??????
1
0
�. 
Множество 
??????
??????
 
в норме 
‖??????‖
??????
??????
= ??????????????????

??????
�� � Ω
??????,??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
??????
2
0
??????
1
0

1
??????
,    ?????? = 1,4
���� 
является нормированным пространством. 
Определение.  Пусть  ??????(??????
1
, ??????
2
)  -  почти  всюду  конечная  и  отличная  от  нуля  измеримая 
функция на 
Δ. Если определенная на Δ функция ??????(??????
1
, ??????
2
) измерима, а функция |??????(??????
1
, ??????
2
)??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
 
интегрируема (по Лебегу) на 
Δ, то говорят, что ??????(??????
1
, ??????
2
) принадлежат классу ??????
??????
(??????). 
Множество 
??????
??????
(??????) в норме 
‖??????‖
??????
??????
(??????)
= �� � |??????(??????
1
, ??????
2
)??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
??????
1
??????
1

1
??????
является банаховым пространством. 
Теорема 2. ??????
??????
= ??????
??????
(??????) и нормы эквивалентны, где 
??????(??????
1
, ??????
2
) = �� ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)
4
??????=1

1
??????
,
??????
1
(??????
1
, ??????
2
) = �

??????
1
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
1
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
2
(??????
1
, ??????
2
) = �

??????
2
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
2
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
3
(??????
1
, ??????
2
) = �

??????
3
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
3
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
4
(??????
1
, ??????
2
) = �

??????
4
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
4
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
??????
 (?????? = 1,4
����) некоторые положительные постоянные. 
Пусть 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)-измеримая почти всюду положительная функция на Δ
1
, ??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) ∈
??????(Δ
1
) и для почти всех (??????
1
, ??????
2
) ∈ Δ
1
 
� � ??????
1
??????
2
??????
2
0
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
= ?????? �??????
1
2
??????
2
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)�
??????
1
0
 
Класс таких функций обозначим через 
Ψ. 
Теорема 3. Если ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) ∈ Ψ,    (?????? = 1,4
����),  то бисингулярный оператор ??????� действует в ??????
??????
 
и ограничен. 
Доказательство теоремы вытекает из теоремы 1 и определения класса 
Ψ. 
Легко проверить, что функция 
??????(??????
1
, ??????
2
) = (??????
1
??????
2
)
1
??????
    (?????? > −2) принадлежит класса Ψ. 
 
19 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Методом     последовательных     приближений    доказана    разрешимость нелинейного 
бисингулярного интегрального уравнения  
??????(??????
1
, ??????
2
) =
λ
∫ ∫
??????(??????
1
,??????
2
,??????(??????
1
,??????
2
))
(??????
1
−??????
1
)(??????
2
−??????
2
)
??????
2
??????
2
????????????
1
????????????
2
  ,
??????
1
??????
1
                                  (1)
в   
p
I
  
где  функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
определена  на   
)
;
(
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
+∞
−∞
x
b
a
x
b
a
,  а 
λ
  - 
действительный параметр. 
Лемма 1. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
удовлетворяет условиям: 
1. Для почти всех
2
,
1
),
,
(
1
=

k
b
a
s
k
k
k
и при любых 
    
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
),
;
(
,
u
u
D
u
s
s
f
u
s
s
f
u
u



+∞
−∞

, 
где D - положительная постоянная; 
2. 
p
I
s
s
f

)
0
,
,
(
2
1
 
Тогда 
а)   оператор 
))
,
(
,
,
(
)
,
)(
(
2
1
,
2
1
2
1
s
s
u
s
s
f
s
s
fu
=
 
действует в 
p
I
в)  при любых 
p
I
u
u

2
1
,
,   
p
p
I
I
u
u
D
fu
fu
2
1
2
1




Рассмотрим следующие операторы 
)
,
)(
(
2
1
x
x
Bu
∫ ∫


=
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
,
2
1
)
)(
(
))
,
(
,
,
(
b
a
b
a
ds
ds
x
s
x
s
s
s
u
s
s
f
=
)
,
)(
(
2
1
x
x
Av
∫ ∫


1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
)
)(
(
)
,
(
b
a
b
a
ds
ds
x
s
x
s
s
s
v

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   ...   29


Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2017
ma'muriyatiga murojaat qiling