Issn 2091-5446 ilmiy axborotnoma научный вестник scientific journal

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
где постоянная зависит лишь от . 
 - 
оценивается аналогично, а также аналогично оценивается 
. 
Пусть теперь Tогда в силу теоремы  М.Рисса 
??????
??????,1
(??????�, ??????
1
, ??????
2
) = ��
�
|??????�(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
+??????
2
??????
2
??????
1
+??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ 
≤ �� � |??????�(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
??????
1
??????
1
�
1
??????
≤ ??????
??????
‖??????‖
??????
??????
(Δ)
= ??????
??????
Ω
??????,1
(??????, ??????
1
, ??????
2
). 
Пусть  измеримые на  почти всюду положительные и . Тогда очевидна, что для любого 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) ∈ ??????(Δ
2
), Δ
2
= [??????
1
, ??????
1
; ??????
2
, ??????
2
] 
справедливость этого следует из неравенства 
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
) =
??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)
??????
1
??????
2
≤
1
??????
1
??????
2
�??????
1
??????
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)�, 
при 
(??????
1
, ??????
2
) ∈ ∆
2
. 
Обозначим 
??????
??????
= ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
, ??????
3
, ??????
4
) = 
= �?????? ∈ ??????
??????
(∆): ∫ ∫ Ω
??????,??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
??????
2
0
< +∞, ?????? = 1,4
����
??????
1
0
�. 
Множество 
??????
??????
 
в норме 
‖??????‖
??????
??????
= ??????????????????
�
??????
�� � Ω
??????,??????
??????
(??????, ??????
1
, ??????
2
)??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
??????
2
0
??????
1
0
�
1
??????
,    ?????? = 1,4
���� 
является нормированным пространством.  
Определение. Пусть  - почти всюду конечная и отличная от нуля измеримая функция на Δ. Если 
определенная на 
Δ функция  измерима, а функция  интегрируема (по Лебегу) на Δ, то говорят, 
что  принадлежат классу . 
Множество 
??????
??????
(??????) в норме  
‖??????‖
??????
??????
(??????)
= �� � |??????(??????
1
, ??????
2
)??????(??????
1
, ??????
2
)|
??????
????????????
1
????????????
2
??????
2
??????
2
??????
1
??????
1
�
1
??????
является банаховым пространством. 
Теорема 2. и нормы эквивалентны, где 
??????(??????
1
, ??????
2
) = �� ??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)
4
??????=1
�
1
??????
, 
??????
1
(??????
1
, ??????
2
) = �
�
??????
1
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
1
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
2
(??????
1
, ??????
2
) = �
�
??????
2
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
2
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
3
(??????
1
, ??????
2
) = �
�
??????
3
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
3
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
??????
4
(??????
1
, ??????
2
) = �
�
??????
4
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
+ ??????
4
,
??????
2
??????
2
−??????
2
??????
1
??????
1
−??????
1
 
 
некоторые положительные постоянные. 
Пусть -измеримая почти всюду положительная функция на и для почти всех 
� � ??????
1
??????
2
??????
2
0
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)????????????
1
????????????
2
= ?????? �??????
1
2
??????
2
2
??????
??????
(??????
1
, ??????
2
)�
??????
1
0
 
Класс таких функций обозначим через 
Ψ. 
 
25 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Теорема 3. Если  то бисингулярный оператор  действует в  и ограничен. 
Доказательство теоремы вытекает из теоремы 1 и определения класса 
Легко проверить, что функция  принадлежит класса 
Ψ. 
Методом 
последовательных 
приближений        доказана        разрешимость  нелинейного 
бисингулярного интегрального уравнения    (1) 
 
в I
P
 
где функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
определена на  
)
;
(
)
,
(
)
,
(
2
2
1
1
+∞
−∞
x
b
a
x
b
a
, а 
λ
 - 
действительный 
параметр. 
Лемма 1. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
удовлетворяет условиям: 
1. Для почти всех
2
,
1
),
,
(
1
=
∈
k
b
a
s
k
k
k
и при любых 
2
1
2
2
1
1
2
1
2
1
)
,
,
(
)
,
,
(
),
;
(
,
u
u
D
u
s
s
f
u
s
s
f
u
u
−
≤
−
+∞
−∞
∈
, 
где D - положительная постоянная; 
2. 
p
I
s
s
f
∈
)
0
,
,
(
2
1
Тогда 
а)   оператор 
))
,
(
,
,
(
)
,
)(
(
2
1
,
2
1
2
1
s
s
u
s
s
f
s
s
fu
=
действует в
p
I
в)  при любых 
p
I
u
u
∈
2
1
,
,   
p
p
I
I
u
u
D
fu
fu
2
1
2
1
−
≤
−
, 
Рассмотрим следующие операторы 
)
,
)(
(
2
1
x
x
Bu
∫ ∫
−
−
=
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
,
2
1
)
)(
(
))
,
(
,
,
(
b
a
b
a
ds
ds
x
s
x
s
s
s
u
s
s
f
=
)
,
)(
(
2
1
x
x
Av
∫ ∫
−
−
1
1
2
2
2
1
2
2
1
1
2
1
)
)(
(
)
,
(
b
a
b
a
ds
ds
x
s
x
s
s
s
v
Лемма 2. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
удовлетворяет условия 1 и 2 леммы 1. 
 
Тогда 
а)   В:  
p
p
I
I
→
в)  при любых 
p
I
u
u
∈
2
1
,
имеет место неравенство: 
p
p
p
I
I
I
u
u
A
D
Bu
Bu
2
1
2
1
−
≤
−
Доказательство.  Справедливость  первый  части  леммы  следует  из  леммы  1  и  теоремы  3  об 
инвариантности   
p
I
относительно бисингулярного оператора А. 
Докажем   вторую часть леммы. Учитывая лемму 1 и равенство 
Afu
Bu
=
. 
где 
p
p
p
p
p
p
I
I
I
I
I
I
u
u
A
D
fu
fu
A
Afu
Afu
Bu
Bu
2
1
2
1
2
1
2
1
−
≤
−
≤
−
=
−
Из леммы 2 и принципа сжатых отображений вытекает 
Теорема 4. Пусть функция
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
 
удовлетворяет условиям I и 2 леммы 1. 
Тогда, если 
p
I
A
D
1
<
λ
, 
уравнение (1) имеет единственное решение в 
p
I
  
и  это  решение  можно  найти  методом  последовательных  приближений,  начиная  с  любого 
элемента 
p
I
. 
Пользуясь  теоремой  об  ограниченности  оператора  А  ([3])  в 
)
(
ρ
p
L
доказывается  следующая 
теорема. 
Теорема 5. Пусть функция 
)
,
,
(
2
1
u
s
s
f
удовлетворяет условию 1 из леммы.1 и
p
I
s
s
f
∈
)
0
,
,
(
2
1
. 
 
26 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Тогда, если  
p
I
A
D
1
<
λ
то  уравнение  (1)  имеет  единственное  решение  в 
)
(
ρ
p
L
и  это  решение  можнонайти      методом 
последовательных      приближении,      начиная      с    любогоэлемента 
)
(
ρ
p
L
. 
Последовательные 
приближения сходятся в метрике  
)
(
ρ
p
L
. 
Литература 
1.
Абсаламов Т., Дониёров Н., Некоторые оценки для бисингулярного интеграла в
пространствах суммируемых функций, Научный вестник СамГУ, 2014, N1, 31-34, 
2.
Гусейнов Е.Г., Салаев В.В., Особый интеграл по отрезку прямой в пространствах
суммируемых функций, Науч.Tр.МВ и ССО Азерб.ССР, серия физ.-мат. наук, N1, 1979, 
81-87. 
3. Fetterman R., 
??????
??????
 weights and singular integrals, Amer.J.Math.-M., 1988,110,5,p.975-987.
4.
Харди Г.Г., Литтльвуд Д.Е., Полиа Г., Неравенства - М., Изд.И.Л., 1948
5.
Холмуродов Э., Некоторые оценки для особого интеграла с локально суммируемой
плотностью, Уч.зап.МВ и ССО Азерб.ССР, серия физ-мат. наук-1978,6,71-80.
6. Riesz M., Surles functions conjugue'es., Math.Z., 1927,27,2.
T.Absalamov, A.Absalamov 
BISINGULYAR INTEGRALNING BA’ZI BIR 
XOSSALARI VA UNING TADBIQLARI
 
Jamlanuvchi funksiyalar fazosida 
bisingulyar integral uchun Zigmund tipidagi 
tengsizlik olindi. Bu tengsizlik asosida bisingulyar 
integral operatorga nisbatan invariant funksional 
fazo qurildi. Olingan natija chiziqli b
oʻlmagan  
bisingulyar  integral  tenglamaga  q
oʻllanildi.
 
Kalit s
oʻzlar: bisingulyar integral operator, 
Zigmund tipidagi baho, invariant fazo.
 
T.Absalamov, A.Absalamov 
SOME  PROPERTIES  OF  BISINGULAR  
INTEGRAL  AND  ITS APPLICATIONS
 
It is obtained  a Zigmund type estimate for 
the bisingular integral in the space of Summation 
functions. It is  constructed an invariant functional 
space based on the inequality. The obtained result 
was applied to the nonlinear bisingular integral 
equation. 
 
Keywords:  bisingular integral operator, 
Zigmund type estimate, invariant space.
 
UDK: 51-73 
EGRI CHIZIQLARNING NATURAL TENGLAMALARINI TUZISHDA ALGEBRAIK VA 
GEOMETRIK METODLARNING UY
GʻUNLASHUVI 
E.E.Jumayev 
Termiz  davlat universiteti 
Annotasiya.  ishda  vint  chiziqlarning  (aradiusli  aylana, sikloida  va  traktrisa) natural 
tenglamalarituzildivavintchiziqningbarchanuqtalaridaegrilikvaburalishning
oʻzgarmasligiisbotlandi. 
Kalits
oʻzlar:  vint  chiziq,  aylana, sikloida, traktrisa, egrilik, buralish, reper, bazis, vektor  va 
integral. 
Vint  chiziqning  natural  tenglamasini  tuzaylik.  Uning  tenglamasi  q
oʻzgʻalmas  koordinata 
sisitemasiga 
nisbatan 
yoki 
Bu  egri  chiziqning  biror  nuqtasidagi  egriligi  va 
buralishini hisoblaymiz. Buning uchun bizga uchta hosila kerak b
oʻladi: 
 
27 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Ravshanki 
  Bundan  tashqari 
va 
  lar 
  vektorlar  tekisligida  yotadi,  bundan 
  kelib  chiqadi.  Demak, 
  va 
  vektorlar  har  doim  dekart  bazisini  tashkil  etadi.  
vektor, 
  aralash  k
oʻpaytma va 
modullarni  topamiz.  Egri  chiziqning  qaralayotgan  nuqtasida 
 va 
 funksiya differensiallari mavjud va 
 b
oʻlishi talab etiladi, lekin bu 
bajariladi,  chunki 
oʻrinli.  Shuning  uchun  biz  egri  chiziqni  toʻla
tekshirish  imkoniyatiga  egamiz: 
 
   ga 
egamiz.  
Vint  chiziqning  barcha  nuqtalarida  egrilik  va  buralish  
oʻzgarmas,  chunki  ularning  formulasida  t 
qatnashmaydi.  Bu  vint  chiziqning  barcha  nuqtalarida  bir  xil  xossalarga  ega  ekanligini  anglatadi. 
Shuning 
uchun 
ular 
harakat 
qilishi 
mumkin.  Shunday 
qilib 
biz 
vint 
chiziqning 
natural  tenglamasiga  ega  b
oʻldik.  Biz  vint  chiziqning  qadami  va  silindr 
radiusining qiymati bilan  aniqlanuvchi cheksiz k
oʻp vint chiziqlar toʻplamiga ega boʻlamiz. 
 da 
vint  chiziq 
aylanaga 
oʻtadi.  Demak,  aylana  nol  buralishga  ega  va 
uning  egriligi 
  ga  teng,  ya’ni  aylana  egriligining  qiymati  radiusiga  teskari.  Rasmda  tasvirlangan 
manfiy va musbat buralishlar orasidagi farqqa qarating. 
Buralish  ishorasi 
  qadam  ishorasi  bilan  bir  xil  b
oʻladi.  Soat  strelkasi  boʻylab  va  musbat 
qadamda  k
oʻtarilish  yuz  beradi(oʻng  rezba).  Agar  qadam  ishorasi  saqlansa,  lekin  vintning  aylanish 
y
oʻnalishini oʻzgartirsak, unda u pastga tushadi, ya’ni vintning aylanish yoʻnalishiga bogʻliq boʻlib u bir 
katok  aylanishi  yoki  buralishi  mumkin.  Lekin  vint  manfiy  qadamda  qarama  -  qarshi  tomonga  qarab 
harakat qiladi        (chap rezba).  Faqat   invariantlar nisbati 
oʻzgarmas boʻlsin. 
tenglamada  A 
oʻzgrmas  son,  k  biror  yoy  uzunligining  funksiyasi  boʻlib 
  funksiya  bilan 
aniqlanuvchi  cheksiz  k
oʻp egri chiziqlar toʻplamini tashkil etadi. 
  tenglama 
  t
oʻgʻri 
proporsionallik tenglamasiga 
oʻxshash.  Har qanday umumta’lim maktabi, Al yoki KHK oʻquvchisi a ni 
son jihatidan absissa 
oʻqi bilan ogʻmaning kashkil qilgan burchakning tangensiga teng boʻlgan kattalikni 
burchak  koeffisiyent  sifatida  qarashni  biladi.  Demak,  A  trigonometrik  funksiya  b
oʻlsin,  masalan 
kotangens, 
ya’ni 
. 
U 
holda 
tenglamani 
  k
oʻrinishda yozsak boʻladi. 
 
28 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
Endi 
 formulalardan foydalanamiz. Birinchisini  
 ga ikkinchisini 
ga k
oʻpaytirib qoʻshamiz va 
 yoki 
 ga ega 
b
oʻlamiz. Bundan 
 vektor 
oʻzgarmas, chunki u s ga bogʻliq emas. Demak, 
 ya’ni har qanday nuqtadagi urinma 
oʻzgarmas   vektor bilan oʻzgarmas a burchak 
hosil 
qiladi. 
Qaralayotgan 
egri 
chiziqning  har  bir  nuqtasidan 
vektorga  parallel  t
oʻgʻri  chiziqlar 
oʻtkazamiz.  Silindrik  sirtlar  hosil
b
oʻladi.  Bunda  egri  chiziq  barcha 
yasovchilarni  a  burchak  ostida 
kesadi, mexaniklar buni izogonal(bir 
xil 
burchak 
hosil 
qiluvchi) 
trayektoriya 
deb 
ataydilar. 
Silindrning  yasovchilari  Oz 
oʻqiga 
parallel  b
oʻlgan  yoʻnaltiuvchisi 
sifatida ixtiyoriy L tkis egri chiziqni 
olaylik(
deb  kelishib  olamiz).  L  ning  tenglamasini 
  yoki 
  deb  yozamiz.  U 
holda  izlangan  egri  chiziq  M  nkuqtasining  radius  vektori 
k
oʻrinishni  oladi.  M  nuqtadagi  urinma 
  vektorga  parallel  b
oʻladi.  Urinma  va   
vektor 
orasidagi 
burchak 
oʻzgarmas 
b
oʻlishi 
kerak: 
bajariladigan  qilib    t 
oʻzgaruvchini s bilan almashtiramiz. U holda
 tenglik hosil b
oʻladi. 
b
oʻlgani 
uchun 
Buni 
integrallab 
  ni  topamiz,  bu  yerda  S- 
oʻzgarmas. Shunday qilib izlangan chiziqni(konus vint 
chizi
gʻi  misol boʻla oladi) topdik: 
  Bunda  ikkita  ixtiyoriy 
funksiyalar  qatnashayapti: 
va 
lar 
tenglikdan  kelib  chiqadigan  shartlar  bilan 
bo
gʻliq. Bu shart 
 yoki 
 k
oʻrinishni oladi. Konus vint 
chizi
gʻini quyidagicha yozish mumkin: 
 bu yerda 
konus 
oʻqi  bilan  yasovchisi  orasidagi  burchak, 
 
,  φ  vint  chiziq  urinmasi  va  konusning 
yasovchisi orasidagi burchak
. φ burchak oʻzgarmas, unda bu egri chiziq osongina topiladi.  
Diqqatni  konus  vint  chiziqning  xOu  tekislikdagi  logarifmik  spiral  deb  nomlanuvchi  proyeksiyasiga 
qarataylik.  Bu  spiralning  nuqtasi  orqali  Oz 
oʻqiga  parallel  toʻgʻri  chiziqlar  oʻtkazsak,  unda  ular  egri 
chiziqni bir xil burchaklar ostida kesadi. 
   egri  chiziqni  qaraylik.  Bu  tekis  egri  chiziq. 
vektor  egri  chiziq  yotgan  tekislikka 
perpendikulyar.  Unda 
  Planimetriyadan  ma’lumki 
birinchi 
 vektorning oriyetasiyasining aniqlanishi bilan ikkinchi 
  vektorning oriyenasiyasi ma’lum 
b
oʻladi.   vektorni soat strelkasiga qarama - qarshi 90
o
  ga  burish  natijasida 
  vektor  hosil  b
oʻladi, 
 
29 

ILMIY AXBOROTNOMA    
     MATEMATIKA        
      2016-yil, 1-son 
xullas biz k > 0 shart q
oʻya olmaymiz. 
Al  va  KHK  geometriya  kursining  stereometriya  b
oʻlimida  vektor  koʻpaytma  tushinchasi  oʻtiladi. 
Shunga  asosan 
  formulani  yozamiz.  Formuladagi  shtrixlar  t  parametr  b
oʻyicha 
differensiallanishini bildiradi. Bu formula sodda egri chiziqning egriligini musbat, manfiy va hatto nol 
b
oʻlishi  mumkinligini  koʻrsatadi.  Rasmdagi  urinma  va  abssissa  hosil  qilgan 
burchakka 
qarang. U holda  
yuqoridagi 
formuladan 
  ga  ega  b
oʻlamiz.  Demak,  sodda  egri  chiziqning  egriligi  s  yoy 
uzunligi b
oʻyicha α burchakning hosilasiga teng boʻladi: 
 . 
α burchakning kattalashishi bilan s 
yoy uzunligi ortadi va egrilik musbat b
oʻladi. 
 funksiyaning uzluksizligidan u nolga teng b
oʻlishi 
kerak.  Bunday  nuqtaga  egri  chiziqning  brulish  nuqtasi  deyiladi(rasmda  T  nuqta).  Unda  egri  chiziq 
urinmadan  bir  tomondan  ikkinchi  tomonga 
oʻtadi. Trigonometrik funksiyalar mavzusida tangensoidni 
tasvirlashda  unga  koordinata  boshi  xizmat  qiladi,  bu  nuqtada  urinma  koordinata  burchagining 
bissektrissasi b
oʻladi. 
1-misol. 
  a    radiusli  aylana  uchun 
  bazisda 
ni 
topamiz 
va 
bundan 
Demak, 
aylana 
uchun 
  Bu  tenglik  radius  qancha  katta  b
oʻlsa  egrilikni  shuncha  kichik  boʻlishini 
anglatadi,  ya’ni  urinma  sekin  ayanadi.  Bu  tenglamani 
  deb  yozish  mumkin.  Bu  aylananing  natural 
tenglamasi b
oʻladi.