Javoblar chiziqsiz programmalashtirish

10.4. Shartli optimallashtirish masalasini nomalumlarni yo`qotish usuli bilan yechish
Faraz qilaylik, (10.3.8), (10.3.9) masala qaralayotgan bo`lsin.
Agar mLemma. Agar g_i (X ) _ 0, i _1 ,m tengliklarda, X _ X ⁰ nuqtada
 g₁ X ⁰  g₂ X ⁰  g_m X ⁰  
 ... 
 x₁ x₁ x₁ 
^......................................................... ^ (10.4.1)
 
 g₁ X ⁰  g₂ X ⁰  g_m X ⁰  

 xn xn ... xn _ 
matritsaning rangi m ga teng bo`lsa, ya’ni nolda farqli birorta m–inchi tartibli minor topilsa, X <sup>0</sup> nuqta atrofida (10.3.9) tengliklarni m ta nomalumlariga nisbatan yechish mumkin bo`ladi.
Bu lemmaning isboti oshkor bo`lmagan funksiyaning mavjudligi haqidagi teoremadan kelib chiqadi.
Deylik, qaralayotgan masala uchun (10.4.1) matritsaning rangi m ga teng bo`lsin. U holda masaladagi noma’lumlardan m tasini «yo`qotish» mumkin.
Haqiqatan, yuqoridagi lemmaga ko`ra (aniqlik uchun dastlabki m ta o`zgaruvchilarga nisbatan) quyidagilarga ega bo`lamiz:
x₁ ₁ x_m1, ... , x_n ,

x2 2 xm1, ... , xn , ................................ xm m xm1, ..., xn . (10.4.2) ni (10.3.8) ga qo`yib,

(10.4.2)

f X  f ₁ x_m1, ..., x_n ,₂ x_m1, ... , x_n ,...,_m x_m1, ..., x_n , x_m1,..., x_n  (10.4.3)
 F x _m1, ..., x_n  min masalaga ega bo`lamiz.
Teorema. Yuqoridagi (10.3.8), (10.3.9) shartli ekstremum masalasi (10.4.3) shartsiz ekstremum masalasiga ekvivalent.
Bu yerda ekvivalentlik shu ma’nodaki, agar X <sup>0</sup>  x<sub>1</sub><sup>0</sup>,...,x<sub>n</sub><sup>0</sup>  joiz nuqta
(10.3.8), (10.3.9) masalaning shartli nisbiy minimum nuqtasi bo`lsa, x_m⁰ _1,...,x_n⁰  joiz nuqta (10.4.3) masalaning shartsiz minimum nuqtasi bo`ladi va aksincha, (x<sub>m</sub><sup>0</sup> <sub>1</sub> ,..., x<sub>n</sub><sup>0</sup> ) joiz nuqta (10.4.3) masalaning shartsiz minimum nuqtasi bo`lsa 1 xm0 1, ... , xn0 , ... ,m xm0 1, ... , xn0 , xm0 1, ... , xn0  nuqta (10.3.8)-
(10.3.9) masalaning shartli minimum nuqtasi bo`ladi.
Bu teoremaning isboti teskarisini faraz qilish yo`li bilan amalga oshiriladi.
Usulni aniq bir masalada ko’raylik.
Masala. Qurilish maydonchasidan to`g`ri magistral yo`lgacha bo`lgan masofa 9 km bo`lib, magistral bo`ylab 15 km uzoqlikda boshqarma joylashgan. Zudlik bilan boshqarmaga borish zaruryati tug`ildi.
Agar ulovning magistral yo`lgacha bo`lgan tezligi 8 km/s, yo`l bo`ylab 10 km/s bo`lsa, eng qisqa vaqt ichida boshqarmaga borish uchun qanday yo`lni tanlash kerak?
Yechish: Dastlab masalaning matematik modelini tuzaylik. Aniqlik uchun magistral yo`lning izlanayotgan nuqtasini S orqali belgilaylik. Agar qurilish maydonchasini A, boshqarmani D, yo`lning maydonchaga eng yaqin nuqtasini V orqali belgilasak (1-chizma) masala sharti quyidagicha ifodalanadi:
ÒÀC<sup>2</sup>ÒBCCD min
ÀB  2 ÀC 2  0,
bu yerda T<sub>AS</sub> va T<sub>SD</sub> – mos masofalarni bosib o`tish uchun ketadigan vaqt.
A 9км В

x₂

x₁
C
E
3 км
Д
1-chizma
AC= x₁ , BC= x₂ deb belgilsak, quyidagi
х₁ 15 х₂
 _{ min}, (10.4.3)
8 10
9²  х₂²  х₁²  0 (10.4.4)
shartli minimum masalasiga ega bo`lamiz. (10.4.4) shartdan
_х1  _х2² _{ 81}

qiymatni topib (10.4.3) ga qo`ysak, ya’ni x<sub>1</sub> ni «yo`qotsak», ushbu
x₂²  81 15 x₂
Fx₂    min
8 10
shartsiz minimum masalasiga ega bo`lamiz.

Fx2   8 2xx₂22 81  101  0
shartdan x₂ =12 va _Fx₂  ₀ bo`lganligi tufayli x<sub>2</sub> =12 da funksiya minimumga erishadi.
Demak, eng qisqa vaqtda manzilga yetish uchun D nuqtadan 3 km yuqorida joylashgan E nuqtagacha dala bo`ylab, ED masofani esa magistral yo`l bo`yicha bosib o`tish kerak ekan.
Noma’lumlarni yo`qotish usuli har doim ham yaxshi samara beravermaydi. Ba’zi hollarda noma’lumlardan birini boshqasi orqali ifodalash mushkul bo`lib qoladi. Haqiqatan, quyidagi masalani qaraylik:
x13  x23  extr, (10.4.5)
x<sub>1</sub><sup>5</sup> <sub></sub>x<sub>1</sub>  x<sub>2</sub><sup>2</sup> <sub></sub> x<sub>2</sub><sup>5</sup> <sub> 2.</sub> (10.4.6)
Bu masalada (10.4.6) tenglikdan noma’lumlardan birinchi ikkinchisi orqali analitik ifodalashning qiyinligini izohlashga hojat yo`q.
Shu sababli, shartli minimum masalasini yechishning boshqa usullarini keltirish zarurati paydo bo`ladi. Quyida shunday usullardan birini keltiramiz.