Javoblar chiziqsiz programmalashtirish

Teorema. X₀ statsionar nuqta ekstremal nuqta bo`lishi uchun shu nuqtada quyidagi Gesse matritsasi deb ataluvchi
<sup>2</sup> f (X<sub>0</sub>) <sup>2</sup> f (X<sub>0</sub>) <sup>2</sup> f (X<sub>0</sub>)
<sup>2</sup> x<sub>1</sub> x<sub>2</sub> x<sub>1</sub> x<sub>n</sub> 
 x<sub>1</sub> 
2 f (X0) 2 f (X0)2 f (X0)
H X<sub>0</sub>  x<sub>2</sub> x<sub>1</sub> x22 x2 xn 

2 f (X0) 2 f (X0) 2 f (X0)

 x<sub>n</sub> x1 xn x2 xn2 
matritsa musbat aniqlangan (bu holda X<sub>0</sub>–minimum nuqta) yoki manfiy aniqlangan (bu holda X<sub>0</sub> – maksimum nuqta) bo`lishi yetarlidir.

Isbot. Teylor teoremasiga asosan, 0 _1 da f X( ₀  h) f X( ₀ )  f X( ₀ )h  h H X  ₀ h h , (10.2.6) bu yerda h _ (h h₁, ₂, ,h_n ) _n o`lchovli vektor ustun, h<sup>/</sup> esa n o`lchovli vektor qator va h_j ( j _1,n)– yetarli darajada kichik son, HX₀ _h - Gesse matritsasining X₀ _h nuqtadagi qiymati.


f X( 0 )   f X( 0 ) , f X( 0 ) , , f X( 0 ) 
 x₁ x₂ x_n 
n o`lchovli gradiyent deb ataluvchi vektor.
X<sub>0</sub> nuqta statsionar nuqta bo`lganligi uchun bu nuqtada (10.2.5) o`rinli bo`ladi, demak, bu holda
_f (X₀) _ 0 (10.2.7)
(10.2.6) va (10.2.7) dan
f X( ₀  h) f X( ₀ )  h H X  ₀ h h_ (10.2.8)
Faraz qilaylik, X₀ minimum nuqta bo`lsin. U holda
f (X<sub>0</sub>  h)  f (X<sub>0</sub>)
tengsizlik ixtiyoriy h <sub></sub> 0 uchun o`rinli bo`ladi, demak, bu holda
h H X  <sub>0</sub> h h  0
f (X) funksiyaning ikkinchi tartibli hosilasi uzluksiz bo`lganligi uchun h H h_ miqdor X ₀ va X₀ _h nuqtalarda bir xil ishorali bo`ladi va h<sub></sub>HX<sub>0</sub> h kvadratik formadan iborat. Shuning uchun bu formaning (jumladan h H X<sub></sub>  <sub>0</sub> <sub></sub>h h formaning) musbat bo`lishi HX₀ ning musbat aniqlangan matritsa bo`lishiga bog`liq.
Demak, X₀ statsionar nuqta minimum nuqta bo`lishi uchun shu nuqtadagi Gesse matritsasi (H X <sub>0</sub> ) musbat aniqlangan bo`lishi yetarli ekan. Xuddi shunday yo`l bilan X <sub>0</sub> statsionar nuqtaning maksimum nuqta bo`lishi uchun HX₀ manfiy aniqlangan bo`lishi yetarli ekanligini ko`rsatish mumkin.
2-teorema. X ₀ statsionar nuqtada
f (X₀)  0, f (X₀)  0, , f ^(n1)(X₀)  0 va f ^{( )n} (X₀)  0 bo`lsa, bu nuqta

1. 
   n toq son bo`lganda egilish nuqta;
   
2. 
   n juft son bo`lganda ekstremal nuqta bo`ladi hamda f ^{( )n} (X₀) _ 0 da funksiya maksimumga, f ^{( )n} (X₀) _ 0 da minimumga erishadi.
   

10.3. Shartli optimallashtirish masalalari

Faraz qilaylik, n o`lchovli R<sup>n</sup> fazoda f x, g<sub>1</sub> x, g<sub>2</sub> x, ... , g<sub>m</sub> x skalyar funksiyalar berilgan bo`lsin. Quyidagi:

...............

g_m (X )  0
tengsizliklar sistemasini qanoatlantiruvchi barcha X _Rⁿ , nuqtalar ichidan shunday X ⁰ _Rⁿ nuqtani aniqlash kerakki, u nuqtada f  X  funksiya minimumga erishsin:
f X ⁰   min f X _
Aniqlik uchun masalada minimum haqida so`z yuritdik. Agar f  X  funksiya minimumga erishgan nuqtada f  X  funksiya maksimumga erishishini inobatga olsak, bu masalani umumiy deb qarash mumkin. Shunday qilib, masala quyidagicha ifodalanishi mumkin:
f  X   min (10.3.1) g<sub>i</sub> X   0, i <sub></sub>1 ,m, X <sub></sub>R<sup>n</sup> , (10.3.2)
bu yerda (10.3.2) chegaraviy shartlar asosiy shartlarni tashkil etadi. Shu sababli, (10.3.1), (10.3.2) masalaning yechimi bo`lgan X ⁰ _ x₁⁰, x₂⁰, ... , x_n⁰  nuqta shartli minimum nuqta deyiladi. Bu nuqtani izlash masalasiga esa, shartli minimum masalasi deyiladi. Agar X _X g: _i X   0, i _1 ,m, X _Rⁿ deb belgilasak, (10.3.1) va (10.3.2) masalani boshlang’ich berilgan masalaning xususiy holi ekanligini payqash qiyin emas. Yuqoridagi (10.3.2) shartlarni qanoatlantiruvchi nuqtalarni joiz nuqtalar deb ataymiz. (10.3.1), (10.3.2) masalani ixtiyoriy tabiatli funksiyalar sinfi uchun o`rganish mushkul. Shu sababli mazkur bo`limda bu funksiyalarni barcha argumentlari bo`yicha uzluksiz va uzluksiz differensiallanuvchi deb faraz qilamiz.
Qaralayotgan masalani o`rganishga qulaylik tug`dirish maqsadida, yordamchi o`zgaruvchilar kiritish hisobiga uni quyidagicha, chegaraviy shartlari tenglik tarzida bo`lgan masalaga keltirish mumkin.
Lemma. Chegaraviy shartlari tengsizlik tarzida bo`lgan (10.3.1),
(10.3.2) masala quyidagi f  X   min (10.3.3)
g_i  X   x_{n i}²_  0, i _1,m (10.3.4)
masalaga ekvivalent.
Bu yerda _xni lar yordamchi o`zgaruvchilar bo`lib, ekvivalentlik quyidagi ma’noda: agar X ⁰ _ x₁⁰, x₂⁰, ... ,x_n⁰  joiz nuqta (10.3.1), (10.3.2) masalasining yechimi bo`lsa

x x10, 20,...,x xn0, n01,...,xn m0    X 0, g1 X 0  12 ,..., gm X 0  12  (10.3.5)
nuqta (10.3.3),(10.3.4) masalaning yechimi bo`ladi.
Isbot. Faraz qilaylik, X <sup>0</sup> <sub></sub> x<sub>1</sub><sup>0</sup>, x<sub>2</sub><sup>0</sup>, ... ,x<sub>n</sub><sup>0</sup>  nuqta (10.3.1), (10.3.2) masala yechimi bo`lib, unga mos (10.3.5) nuqta (10.3.3),(10.3.4) masalaning yechimi bo`lmasin. U holda (10.3.3), (10.3.4) masalaning shunday joiz nuqtasi
x1, x2 , ... , xn , xn1, ... , xn m   x x, n1, ... , xn m 
topiladiki, bu nuqta uchun quyidagilar o`rinli bo`ladi:
f X  f X <sup>0</sup>,
gi X  xn i2  0,
bundan
f X  f X <sup>0</sup> ,
g i X xn i2  0
kelib chiqadi. Bu esa X <sup>0</sup> <sub></sub> x<sub>1</sub><sup>0</sup>, x<sub>2</sub><sup>0</sup>, ... , x<sub>n</sub><sup>0</sup>  nuqtani (10.3.1), (10.3.2) masalaning yechimi deyilishiga zid.
Endi, deylik, X <sub>0</sub> nuqta (10.3.3), (10.3.4) masalaning yechimi bo`lib, mos X⁰ nuqta (10.3.1), (10.3.2) masalaning yechimi bo`lmasin. U holda shunday boshqa X^* joiz nuqta topiladiki,
f X ^*   f X ⁰ , (10.3.6) g_i X ^*   0, i _1 ,m (10.3.7)
shart bajariladi. Agar X ^ nuqtani

xn*1   g1 X *  12 ,...,xn m*   gm X *  12
kabi nuqtalar bilan to`ldirsak, hosil bo`lgan X ^*,x_n^*_1, ... ,x_{n m}^*_  joiz nuqta uchun (10.3.6)-(10.3.7) munosabatlar yordamida f X ^*   f X ⁰ ,
gi X *  xn i* 2  0
munosabatga ega bo`lamiz. Bu esa X <sup>0</sup> nuqtani (10.3.3), (10.3.4) masalaning yechimi deb olinishga zid. Lemma isbotlandi.
Yuqoridagi lemma shartli minimum masalasini chegaraviy shartlari tenglik tarzida bo`lgan holda o`rganish kifoya ekanligini asoslaydi. Shu sababli, belgilashlarni saqlagan holda ushbu
f  X   min (10.3.8) g<sub>i</sub> X  0,i <sub></sub>1 ,m X, <sub></sub>R<sub>n</sub>, (10.3.9)
shartli minimum masalasini asosiy masala sifatida tadqiq etamiz.
Ta’rif. Yuqoridagi (10.3.8), (10.3.9) masalada f  X  funksiya X <sup>0</sup> joiz nuqtada nisbiy shartli minimumga erishadi deyiladi, agar shu nuqtaning yetarli kichik atrofidan olingan ixtiyoriy joiz nuqta x uchun
f X <sup>0</sup>   f X <sub></sub>
shart bajarilsa.
Quyida qaralayotgan masalaning shartli nisbiy minimum nuqtasini topish bilan shug`ullanamiz.