Javoblar chiziqsiz programmalashtirish

10.6. Normal masalalar

Lagranj ko`paytuvchilar qoidasidan ko`rinadiki, agar _{  0}, ₁, ... , _m ko`paytuvchilar bo`lsa, ixtiyoriy _{k  0} son uchun k_{ 0}, k ₁, ... ,k_m ham Lagranj ko`paytuvchilari bo`ladi.
Ta’rif. Agar shartli nisbiy minimum nuqtaga mos keluvchi Lagranj ko`paytuvchilari orasida 0, <sub> 1</sub>, ... , <sub>m</sub> kabilari bo`lmasa mos nuqta, normal nuqta masala esa normal masala deb ataladi.
Normal masalaning tadqiqot uchun qulayligi quyidagi lemmadan ko`rinadi.
Lemma. Normal masala uchun Lagranj ko`paytuvchilari mavjud va yagonadir.
Isbot. Mavjudligi Lagranj funksiyasining bir jinsliligi va _0  ₀ shartdan kelib chiqadi va ko`paytuvchilar 1, <sub> 1</sub>, ... , <sub>m</sub> ko`rinishga ega bo`ladi.
Deylik, X <sup>0</sup> shartli nisbiy minimum nuqta bo`lib, unga ikki xil Lagranj ko`paytuvchilari mos kelsin: 1, <sub> 1</sub>, ... , <sub>m</sub> va 1, <sub> 1</sub>, ... , <sub>m</sub> . Bu yerda hech bo`lmasa birorta k uchun (_k _‘k ) quyidagi munosabatlar o`rinli bo`lsin:
f X ⁰  g₁ X ⁰  g_m X ⁰ 

 j  j f X ^0 g1 X ^0 1  ... m xj xj Bulardan birini ikkinchisidan ayirib	 j gm X ^0   0, j  1, n. xj
g X ^0	g X ^0
    m  ^  1  1  ... m  m   0, j 1,n

₁  ... _m  0, x x x
x_j x_j
munosabatga ega bo`lamiz. Bu esa X <sup>0</sup> nuqtaga
0,  <sub>1</sub>  <sub>1</sub>, ... , <sub>m</sub>  <sub>m</sub>,
kabi ko`paytuvchi mos kelayotganligini ko`rsatadi va bu zidlik lemmani isbotlaydi.
Teorema. Qaralayotgan (10.5.1), (10.5.2) masalada X <sup></sup> joiz nuqta normal nuqta bo`lishi uchun u nuqtada
g X1 *, ... ,g Xm  * (10.6.1)
x_j x_j
vektorlarning chiziqli erkli bo`lishi zarur va yetarlidir.
Isbot. X <sup></sup> normal nuqta bo`lib, unga mos (10.6.1) vektorlar chiziqli bog`liq bo`lsin, ya’ni shunday _1,_2,...,_m (birortasi noldan farqli) sonlar topilsinki,
_1 ^{ g1 X * } _ ... _m ^{ gm X * } _ 0
x_j x_j
o`rinli bo`lsin. Bu munosabat esa X ^ nuqtaga 0, _{ 1}, ... , _m ko`paytuvchilar mos kelayotganligini anglatadi. Bu esa normallikka zid.
Endi, (10.6.1) vektorlar chiziqli erkin bo`lib, X ^- normal nuqta bo`lmasin. U holda shunday 0, <sub> 1</sub>, ... , <sub>m</sub> ko`paytuvchilar topiladiki (birortasi noldan farqli bo`lgan):

0f X *  1 g1 X *   ... m  gm X *   0
x_j x_j x_j
bo`ladi. Bu esa (10.6.1) vektorlarning chiziqli bog`liqligini anglatadi. Bu zidlik teoremani to`la isbotlaydi.
Izoh. Normal masala uchun Lagranj ko`paytuvchilar qoidasining asosiy munosabatlari
 F X ⁰,  0,  F X ⁰,^  0, i 1 ,m j, 1,n
x_j _i
ko`rinishda bo`lib, n+m ta tenglikni tashkil etadi. Bu tengliklar esa n+m ta nomalumlarni, ya’ni x₁, x₂, ... ,x_n va   ₁, ₂, ... , _m larni bir qiymatli topishga imkon beradi.
Masala. Ma’lumki, neft savdosida o`lchov birligi sifatida barrel ishlatiladi. Sig`imi bir barrel bo`lgan silindrik idishning o`lchamlari qanday bo`lganda uni yasashga kam metall sarf qilinadi?