Karrali xosmas integrallar reja: kirish i-bob. Xosmas integrallar


-§ Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari


Download 1.55 Mb.
bet3/11
Sana23.04.2023
Hajmi1.55 Mb.
#1386172
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11
Bog'liq
Karrali xosmas integrallar

1.2-§ Birinchi jins xosmas integrallar uchun yaqinlashish belgilari.

Ba ‘zi hollarda funksiyaning boshlang ‘ich funkiyasini topib bo ‘lmaydi. Bunday vaqtda xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo ‘lishini aniqlash uchun boshlang ‘ich funksiyani axtarmasdan ma ‘lum bir belgilarga murojat qilishga to ‘gri keladi. Birinchi jins xosmas integralni yaqinlashishini yoki uzoqlashishini tekshirish uchun yetarli shartni ifodalovchi quyidagi belgini keltiramiz.


Teorema: (Yaqinlashish belgisi) Aytaylik f(x) funksiya [ a ,  ) oraliqda uzluksiz va musbat bo ‘lsin, ya ‘ni f ( x )  0 . U vaqtda, agar [ a ,  ) oraliqda


Demak, (9) funksiya yuqoridan chegaralangan. Ma ‘lumki agar funksiya o ‘suvchi va yuqoridan chegaralangan bo ‘lsa, u holda A  chekli limitga ega bo ‘ladi, ya‘ni



  1. 

liAmf ( x ) d x  f(x)d x




a a

integral mavjud bo ‘ladi. Demak, (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar (8) tengsizlik bajarilsa, u holda














a







A




M

A

d x




Ô ( A ) f ( x ) d x







d x M












x

x










A







a










a




bo ‘ladi

a 1 bo ‘lganda esa

li m

A

d x



dir.







A



x






















a

























Bu esa











































































li m Ô ( A )  li m






f ( x ) d x 










A 







A



















ekanligini anglatadi. Demak, (7) xosmas integral uzoqlashadi. Teorema ibotlanadi. Bu isbotlangan teoremadan amaliyotda tatbiq qilinadigan xosmas integralni yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo ‘lishini ta ‘minlovchi quyidagi yetarli belgi kelib chiqadi.


Yaqinlashish uchun yetarli belgi. Aytaylik [a,∞) oraliqda f(x) funksiya musbat va uzluksiz bo ‘lsin . Agar  1 bo ‘lib, ushbu












li m

x f ( x ) J

(10)



















x 


































chekli limit mavjud bo ‘lsa, u holda (7) xosmas integral yaqinlashadi. Agar

  1

bo ‘lib, ushbu














































li m x

f ( x ) J

 0

(11)
















x 


































chekli yoki

cheksiz

limit mavjud

bo ‘lsa,




u

holda

(7) xosmas integral

uzoqlashadi.











































Birinchi hol. Aytaylik

  1 bo ‘lganda (10) limit mavjud bo ‘lsin. U vaqtda

limit ta ‘rifiga asosan   0

uchun  N

bo ‘ladiki, x>N bo ‘lganda x f ( x )  J

tengsizlik

bajariladi.

Bundan

f ( x )



M




kelib

chiqadi, bunda

MJ

 0 .

x




















































































Shunday qilib (6) shart

hosil

bo ‘ladi. Bu esa



f ( x ) dx integralning

mavjudligini




























N
















ta ‘minlaydi. Quyidagi



















































N




































f ( x ) dx



f ( x ) dx





f ( x ) dx

(12)













a




a
















N













tenglikdan esa (7)-xosmas integralning yaqinlashishi kelib chiqadi.


Ikkinchi

hol.  1 bo ‘lganda (11) limit mavjud bo ‘lsin. Bizda J>0 J dan

kichik bo ‘lgan musbat M sonni

olamiz. U vaqtda tanlangan M bo ‘yicha shunday

N sonni topish

mumkinki,

natijada x>N bo ‘lganda

x f ( x ) Mtengsizlik

bajariladi (ma ‘lumki, agar x n

b

va b  r  b  r  bo ‘lsa, u holda ma ‘lum bir joydan

boshlab x nr  x n

r

munosabat bajariladi). Shunday

qilib (8) tengsizlik hosil


















bo ‘ladi. Bundan esa 

f ( x ) d x










N













integralning uzoqlashuvchi bo ‘lishi kelib chiqadi. (12) ga asosan (7) integral


uzoqlashadi.




Misollar:





























dx



































































1.



























integral tekshirilsin































































































































x 3

x 2

 2




























0






























































Download 1.55 Mb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8   9   10   11




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©fayllar.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling