Kirish. Asosiy qism. 1-Bob. Oshkormas funksiyalar

2-Bob. Oshkormas funksiyaning mavjudligi va hosilasi.
2.1. Oshkormas funksiyaning mavjudligi.
Biz yuqorida

tenglama yordamida har doim oshkoramas ko’rinishdagi funksiya aniqlanavermasligini ko’rdik
Endi tenglama, yani funksiya qanday shartlarni bajarganda oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning aniqlanishi boshqacha aytganda oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning mavjud bo’lishi masalasi bilan shug’ilanamiz .
1 – t e o r e m a . funksiya nuqtaning biror

Atrofida berilgan va u quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   da uzluksiz;
   
2. 
   o’zgaruvchining oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida u o’zgaruvchining funksiyasi sifatida o’suvchi ;
   
3. 
   
   

U holda nuqtaning shunday
atrofi topiladiki,
1ʹ uchun

12
tenglama yagona yechimga ega, ya’ni tenglama yordamida

Oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlanadi.
2ʹ) bo’lganda unga mos kelgan bo’ladi,
3ʹ) oshkormas ko’rinishda aniqlangan

funksiya oraliqda uzluksiz bo’ladi.
I s b o t. (( , )) atrofda tegishli bo’lgan nuqtalarni olaylik. Ravshanki, oraliqda oraliqda funksiya o’suvchi bo’ladi. Demak,


Teoremaning 3-shartiga ko’ra

bo’ladi.
Teoremaning 1- shartiga ko’ra funksiya da uzliksiz. Binobarin ) va funksiyalar oraliqda uzliksiz bo’ladi. Unda uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra uqtaning shunday atrofi topiladiki, uchun bo’ladi.
Ravshanki ( ) nuqtaning ushbu
13
(( , )) = {( ) : + ,
atrofi uchun teoremaning barcha shartlari bajarilaveradi, chunki
(( , (( , ))
) nuqtani olib funksiyani qaraylik. Bu funksiya, yuqorida aytilganiga ko’ra oraliqda uzluksiz va uning chetki nuqtalarida turli ishorali qiymatlarga ega;
) <0 , )>0
U holda Balsano-Koshining birinchi teoremasiga ko’ra shunday y* topiladiki ( y* – + ),

bo’ladi. Bu topilgan yagona bo’ladi haqiqatdan ham,
{ – + })
chunki, o’suvchi bo’lganligi sababli uchun va uchun bo’ladi. shunday qilib, ning oraliqda olingan har bir qiymatida tenglama yagona yechimga ega ekanligi ko’rsatildi. Bu esa tenglama yordamida

oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlanganligini bildiradi. bo’lsin. Unda teoremaning 3- sharti dan ni mos qo’ygandagina :

14
Demak oshkormas funksiyaning qiymati ga teng bo’ladi. Endi oshkormas funksiyaning oraliqdagi uzluksiz bo’lishini ko’rsatamiz.

Ravshanki , mos qo’yildagigan + bo’ladi. Bu esa oshkormas funksiyaning nuqtaga uzluksiz ekanligini bildiradi.
Oshkormas funksiyaning nuqtada uzluksiz bo’lishini ko’rsatish bu funksiyaning nuqtadagi uzliksiz bo’lishini ko’rsatish kabidir.
Haqiqatdan ham tenglama nuqtaning atrofini ( da oshkormas funksiyani aniqlaganligidan, shunday ( – ) topiladik bo’ladi . Yuqoridagi mulohazani nuqtaga nisbatan yuritib tenglama nuqtaning atrofida oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlashini (bu aniqlandan funksiya (6) ning o’zi bo’ladi ), uni nuqtada uzluksiz bo’lishini topamiz . Demak oshkormas funksiya oraliqda uzluksiz bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
1 – eslatma. 1- teorema , funksiya o’zgaruvchining
oraliqdan olingan har bir tiyin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida kamayuvchi bo’lganda ham o’rinli bo’ladi.
Biz yuqoridagi tenglamani ( nuqtaning atrofi ni ning funksiyasi sifatida aniqlashini ifodalaydigan teoremani keltirdik.
Xuddi shunga o’xshash tenglama ( nuqtaning
15
atrofi va ning funksiyasi sifatida aniqlashini ifodalaydigan teoremadi keltirish mumkin.
2 - t e o r e m a . funksiya ( nuqtaning biror atrofida berilgan va u quyidagi shartlarni bajarsin:

1. 
   da uzluksiz.
   
2. 
   o’zgaruvchining oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida o’suvchi (kamayuvchi) ,
   
3. 
   
   

U holda ( nuqtaning shunday
atrofi topiladiki,
1ʹ) ) uchun

tenglama yagona )) yechimga ega, ya’ni tenglama yordamida oshkormas ko’rinishidagi funksiya aniqlanadi ;
2ʹ) bo’lganda unga mos kelgan bo’ladi.
3ʹ) oshkormas ko’rinishdagi aniqlangan funksiya

) da uzluksiz bo’ladi.Bu teoremaning isboti yuqotidagi keltirilgan 1- teoremanng isboti kabidi.
16