Kirish. Asosiy qism. 1-Bob. Oshkormas funksiyalar

2.2 Oshkormas funksiyaning hosilasi.
Endi oshkormas funksiyaning hosilasini topish bilan shug’illanamiz
3 - t e o r e m a. funksiya nuqtaning biror atrofida
berilgan va quyidagi shartlarni bajarsin:
1) da uzluksiz,
2) da uzluksiz xususiy hosilalalrga ega va
3)
U holda , nuqtaning shunday
. atrofi topiladiki,
1ʹ) x ( + )) uchun

tenglama yagona yechimga y ( – + ) ega, ya’ni
tenglama yordamida

oshkormas ko’rinishadgi funksiya aniqlanadi :
2ʹ) bo’lganda unga mos keladigan bo’ladi.
3ʹ) oshkormas ko’rinishda aniqlangan
17

funksiya oraliqda uzluksiz bo’lad;
4ʹ) bu oshkormas ko’rinishdagi funksiya oraliqda uzluksiz hosilaga ega bo’ladi.
I s b o t. Shartga ko’ra funksiya (( , )) da uzluksiz va ( , deylik. U holda uzluksiz funksiyaning xossasiga ko’ra ( , ) nuqtaning shunday

atrofi topiladiki, uchun bo’ladi. Demak funksiya o’zgaruvchining , oraliqdan olingan har bir tayin qiymatida o’zgaruvchining funksiyasi sifatida o’suvchi. Yuqoridagi isbot etilgan 1 – teoremaga ko’ra

tenglama da

oshkormas ko’rinishdagi funksiya aniqlaydi, bo’lganda unga mos kelgan bo’ladi va oshkormas funksiy da uzluksiz bo’ladi .
Endi oshkormas funksiyaning hosilasini topamiz. nuqtaga shunday ortirma beraylik, bo’lsin natijda
oshkormas funksiya ham ortirmaga ega bo’ladi.
18

bo’ladi demak,

Shartga ko’ra va xususiy hosilalar da uluksiz. Binobarin funksiya nuqtada diffferiansiysallsnuvchi:

Bu munosabatdagi va lar bog’liq va
,
(7ʹ) va (7) munisabatlardan

ekanligi kelib chiqadi.
Oshkormas funksiyaning nuqtadagi uzluksizligini e’tiborga olib keying tenglikni da limitga o’tib quyidagi topilda.

Demak,

(( , )) da va xususiy hosilalar uzluksiz va bo’lishidan oshkormas funksiyaning
19
hosilasi
.
ning oraliqda uzluksiz bo’lishi kelib chiqdi. teorema isbot bo’ldi.
M i s o l . Ushbu

tenglamani qaraylik. Ravshanki, funksiya to’plamda yuqoridagi 1- teoremaning barcha shartlarini qanoatlantiradi. Demak, nuqtaning
(( )) atrofida (8) tenglama oshkormas ko’rinishdagi funksiyani aniqlaydi va bu oshkormas funksiyaning hosilasi

bo’ladi.
Oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini quyidagicha ham hisoblasa bo’ladi ning ga bog’liq ekanligi e’tiborga olinib dan topamiz:

Bundan esa

bo’lishi kelib chiqadi.
20
Yuqoridagi keltirilgan (8) tenglama yordamida aniqlangan oshkormas ko’rinishdagi funksiyaning hosilasini hisoblaylik:

.