Kirish dissertatsiya mavzusining dolzarbligi va zarurati

Add Round Key (Raund kalitlarini qo’shish) akslantirishda holat blokining bitlari kalit bloki mos bitlari bilan xarakteristikasi ikki bo’lgan chekli maydonda qo’shiladi, ya’ni, massivning har bir ustuni va shu ustunning elementlari kalit massivining mos ustun va elementlariga XOR amali bilan qo’shiladi.
Kalitlar generasiyasi algoritmi (Key Schedule).
Raund kalitlari daslabki kalitdan, algoritmda ko’zda tutilgan hamma raundlar uchun yaratib olinadi. Bu jarayon:

• 
  kalitni kengaytirish (Key Expansion);
  
• 
  raund kalitlarini tanlash (Round Key Selection)
  

bosqichlaridan iborat.
Raund kalitlarining umumiy bitlari soni kirish ma’lumotining bitlari sonini raund soniga ko’paytmasiga va yana bitta kirish ma’lumotining bitlari sonini yig’indisiga teng (misol uchun 128 bitli shifrlash uchun 128*10+128=1408 bit raund kaliti kerak bo’ladi), ya’ni N_b (N_r+1) va l(N_r +1)=128*11=1408 bit.
Demak, 128 bit uzunlikdagi blok va 10 raund uchun 1408 bit raund kalitlari talab qilinadi.
Dastlabki kalitni kengaytirishda, 128 bitli (16 bayt, simvol) boshlang’ich kiruvchi kalit kiritib olinadi va to’rtta ( w₁, w₂, w₃, w₄ ) 32 bitdan bo’lgan bo’lakka bo’linadi. Qolgan kengaytirilgan kalitlar mana shu to’rtta ( w₁, w₂, w₃, w₄ ) kengaytirilgan kalitlar yordamida topiladi. Ya’ni, kengaytirilgan kalitlar quyida keltirilgan (1) va(2) formulalar asosida hisoblab topiladi. Kengaytirilgan kalitlar soni
(2)
Biz ko’rayotgan holatda N_b = 4, N_r = 10 ga teng ya’ni, bayt uzunligi 4 ga, raundlar soni 10 ga teng. Shularni bilgan holda ni topiladi:
= 4*(10+1) = 44
Demak, 128 bitli kirish blokiga va 10 ta raundga ega bo’lgan shifrlash uchun 44 ta kengaytirilgan kalitlar kerak bo’lar ekan.
Raund kalitlari kengaytirilgan kalitlardan quyida bayon qilingan qoida asosida yaratiladi. Kalitlar generasiyasining formulalari quyidagi ko’rinishlarga ega:
w[i]= w[i-1]  w[i-N_k] , (3)
va w[i]= SubWord (RotWord (w[i-1] ))  Rcon[ i/N_k]  w[i-N_k].
Bizning holatda N_k = 4 bo’lganligi sababli i=4,8,12,16,20,… qiymatlar uchun (3) formuladan foydalanib, kengaytirilgan kalitlar topiladi. Ya’ni, i ning 4 ga karrali, 4 ga qoldiqsiz bo’linadigan qiymatlarida (2) formuladan foydalaniladi. Qolgan barcha
i = 5,6,7,9,10,11,13,... qiymatlarida (3) formuladan foydalaniladi.Bu erda w(i) – 32 bit – so’zlardan iborat.
Masalan, biz ko’rayotgan holda raund kalitining uzunligi 128 bitga teng bo’lib, u to’rtta kengaytirilgan kalitga teng bo’ladi, ya’ni, 128 : 32 = 4 demak, w(i) = 1,2,3,4
w₁=W₁, W₂, W₃, W₄, W₅, W₆, W₇, W₈, W₉, W₁₀, W₁₁, W₁₂, W₁₃, W₁₄, W₁₅, W₁₆, W₁₇, W₁₈, W₁₉, W₂₀, W₂₁, W₂₂, W₂₃, W₂₄, W₂₅, W₂₆, W₂₇, W₂₈, W₂₉, W₃₀, W₃₁, W_32;
w₂=W₃₃, W₃₄, W₃₅, W₃₆, W₃₇, W₃₈, W₃₉, W₄₀, W₄₁, W₄₂, W₄₃, W₄₄, W₄₅, W₄₆, W₄₇, W₄₈, W₄₉, W₅₀, W₅₁, W₅₂, W₅₃, W₅₄, W₅₅, W₅₆, W₅₇, W₅₈, W₅₉, W₆₀, W₆₁, W₆₂, W₆₃, W_64;
w₃=W₆₅ , W₆₆ , W₆₇ , W₆₈ , W₆₉ , W₇ , W₇₁ , W₇₂ , W₇₃ , W₇₄ , W₇₅ , W₇₆ , W₇₇ , W₇₈ , W₇₉ , W₈ W₈₁ , W₈₂ , W₈₃ , W₈₄ , W₈₅ , W₈₆ , W₈₇ , W₈₈ , W₈₉ , W₉ , W₉₁ , W₉₂ , W₉₃ , W₉₄ , W₉₅ , W₉₆ ;
w₄= W₉₇ , W₉₈ , W₉₉ , W₁₀₀ , W₁₀₁ , W₁₀₂ , W₁₀₃ , W₁₀₄ , W₁₀₅ , W₁₀₆ , W₁₀₇ , W₁₀₈ , W₁₀₉ , W₁₁₀ , W₁₁₁ , W₁₁₂ , W₁₁₃ , W₁₁₄ , W₁₁₅ , W₁₁₆ , W₁₁₇ , W₁₁₈ , W₁₁₉ , W₁₂₀ , W₁₂₁ , W₁₂₂ , W₁₂₃ , W₁₂₄ , W₁₂₅ , W₁₂₆ , W₁₂₇ , W₁₂₈ ;
1.11-jadval
Aes shifrlash Algoritmida barcha raund kalitlari

0 – raund kaliti kirish kaliti	w0, w1, w2, w3.
1 – raund kaliti	w4, w5, w6, w7.
2 – raund kaliti	w8, w9, w10, w11.
3 – raund kaliti	w12, w13, w14, w15.
4 – raund kaliti	w16, w17, w18, w19.
5 – raund kaliti	w20, w21, w22, w23.
6 – raund kaliti	w24, w25, w26, w27.
7 – raund kaliti	w28, w29, w30, w31.
8 – raund kaliti	w32, w33, w34, w35.
9 – raund kaliti	w36, w37, w38, w39.
10 – raund kaliti	w40, w41, w42, w43.

1.3–jadvalda raund kalitlari keltirilgan bo’lib, 0 – raund kaliti boshlang’ich kirish kaliti hisoblanadi, to’q qora rang bilan berilgan kengaytirilgan kalitlar (1) formuladan hisoblab olinadi, qolgan kalitlar esa (3) formuladan hisoblab topiladi.
(4) formuladagi akslantirishlar quyidagi funksiyalar asosida amalga oshiriladi:

• 
  RotWord 32 bitli so’zni bayt bo’yicha quyidagi ko’rinishda surish bajariladi.
  

{a₀ a₁ a₂ a₃} {a₁ a₂ a₃ a₀};

• 
  SubWord S blokdan va SubBytes ( ) funksiyasidan foydalangan holda bayt bo’yicha akslantirish bajariladi.
  
• 
  Rcon [j] = 2^j-1 , bu erda j =(i / N_k ) , i / N_k – bo’lish natijasi butun son chiqadi, chunki N_k =const bo’lib, i ning N_k ga karrali qiymatlari uchun bo’lish amali bajarilyapti.
  

1.3. AES shifrlash algoritmidagi akslantirishlarning matematik modellari

DES blokli shifrlash algoritmidan farqli ravishda, AES da roundlar soni o‘zgaruvchan va kalit o‘lchamiga bog‘liq. AES 128 bitli kalitlar uchun 10 raund, 192 bitli kalitlar uchun 12 raund va 256 bitli kalitlar uchun 14 raunddan iborat.
Kalit o‘lchami 128 bit bo‘lgan AES shifrlash algoritmining umumiy blok sxemasi 1.2-rasmda keltirilgan va unda quyidagi belgilashlar kiritilgan.
M – ochiq matn, K – kalit, K kalitdan generatsiya qilib olingan raund kalitlar, C – shifr matn, SubBytes – SB(), ShiftRows – SR(), MixColumns – MC(), Add Round Key – AddK(). Barcha raund kalitlar K umumiy 128 bitlik kalitdan murakkab matematik almashtirishlar yordamida hosil qilinadi.
AddRoundKey(AddK) – raund kalitini qo‘shish akslantirishi bo‘lib, 1.1-rasmda akslantirishning umumiy sxemasi keltirilgan. Akslantirishga kiruvchi va chiquvchi baytlar quyidagicha aniqlangan:

AddRoundKey akslantirishi 01 formula bilan hisoblanadi (bu yerda raund kalitlar).
101\* MERGEFORMAT (.)

1.1-rasm. AddRoundKey – raund kalitini qo‘shish akslantirishi.
SubBytes chiziqsiz akslantirishi kiruvchi va chiquvchi baytlari mos ravishda 256 ta turli qiymat qabul qilishi mumkin. Kiruvchi bayt qiymatlarini o‘sish tartibida unga mos ravishda chiquvchi bayt qiymatlarni ikkilik sanoq sistemada yozilsa 8 o‘zgaruvchili 8 ta bul –– funksiyasining rostlik jadvali hosil bo‘ladi(1.1-jadval). Bu yerda SubBytes chiziqsiz akslantirishidagi chiquvchi bayt quyidagicha aniqlanadi:
202\* MERGEFORMAT (.)
Matematik model qurishdagi yordamchi jadval ( ) 1.12-jadval.

00	0	0		0	0		63		0	1		1	1
01	0	0		0	1		7C		0	1		0	0
02	0	0	…	1	0		77		0	1		1	1
…							…				…
FF	1	1		1	1		16		0	0		1	0

Ixtiyoriy bul funksiyasi Jegalkin ko‘phadi yordamida ifodalanishi mumkinligi haqidagi Jegalkin [47,58] teoremasiga asosan, uchun

303\* MERGEFORMAT (.)
tenglik o‘rinli bo‘ladi. Bu yerda .
Ushbu ko‘phadda ko‘rinishidagi hadlar soni 1 dan n gacha bo‘lgan natural sonlar to‘plamining qism to‘plamlari soniga, ya’ni ga teng. Ularning koeffitsientlari faqat 0 yoki 1 qiymat qabul qilgani uchun barcha n o‘zgaruvchili Jegalkin ko‘phadlarining soni ga, ya’ni barcha n o‘zgaruvchili bul funksiyalarining soniga teng. Bu esa bul funksiyasini Jegalkin ko‘phadi yordamida yagona ravishda ifodalanishini bildiradi. Funksiyaning Jegalkin ko‘phadini uning rostlik jadvali asosida qurishning Jegalkin teoremasidan foydalanilgan holda 04 umumiy funksiyani keltiramiz. Bu keltirilgan formulada, hamda , kabi belgilashdan foydalanilgan. Chiquvchi bitlarni ifodalovchi bul funksiyalarni d.n.sh. ko‘rinishida ham ifodalash mumkin. Bu berilgan qiymatlar asosida m.d.n.sh. undan so‘ng Karto-Karno va Kvayn usullari bilan minimal d.n.sh. ifodasiga olib kelingan.