Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

I.Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli.
1.1.Lebeg integrali ostida limitga o'tish xossalari.
Ko’ramizki, Riman integrali tushunchasini matematikada ko’plab ishlatiladigan muhim funksiyalarga tatbiq qilib bo’lmas ekan. Shu sababli Riman integrali tushunchasini kengaytirish masalasi tuғiladi.
Bu masala bilan ko’p matematiklar shuQullanib, Riman integralining turli umumlashtirishlarini topishgan. Bularning ichida eng muhimi Lebeg tomonidan kiritilgan integral tushunchasidir.
Lebeg integrali qurishning asosiy Ғoyasi shundaki, unda funksiyaning aniqlash sohasi bo’lgan [a,b] segmentni bo’laklarga bo’linayotganda argument qiymatlarining yaqinligi emas, balki funksiya qiymatlarining yaqinligi hisobga olinadi. Bu Ғoya bir yo’la Riman integrali mavjud bo’lgan funksiyalar sinfidan kengroq funksiyalar sinfi uchun integral tushunchasini aniqlashga imkon beradi.
Riman va Lebeg Ғoyalarini boshqacha yana quyidagicha ham solishtirish mumkin.
Aytaylik qiymatlari har xil bo’lgan qoғoz pullardan bir qop bor. Bu pullarning umumiy miqdorini qanday qilib topgan ma’qul. Ikki kassirdan biri pullarni bir chetdan oladi va miqdorlarini qo’shib boradi. Ikkinchisi esa avval pullarning miqdoriga qarab ajratib chiqadi: masalan 10 so’mliklarni bir to’p, 50 so’mliklarni bir to’p va xokazo. Keyin har bir to’pni alohida sanab qo’shib chiqadi.
Mana shu kassirlardan birinchisi, ifodali qilib aytganda «Riman», ikkinchisi «Lebeg» bo’ladi. Yuzaki qaraganda bu ikki usulda hisoblashlarning bir-biridan ustunligi sezilmasa-da, ushbu darslikda biz, Lebeg usulining katta imkoniyatlarga ega ekanligini ko’ramiz. Aytaylik to’ғri chiziqda  o’lchov aniqlangan bo’lsin. Avvalo Lebeg integralini [a,b] segmentdagi o’lchovli Ye to’plamning xarakteristik funksiyasi uchun aniqlaymiz.

Ushbu

f_E(x) =

funksiyani Ye to’plamning xarakteristik funksiyasi deyiladi.
Endi f_E(x) funksiyaning Lebeg integrali deb (E) songa (ya’ni, Ye to’plamning o’lchoviga) aytamiz va quyidagicha belgilaymiz:
.
Bu yerda, (L) belgi integral Lebeg ma’nosida ekanligini bildirib turadi.
Shuningdek,

funksiya uchun Lebeg integralini



tenglik bilan aniqlash kerakligi tushunarli.