Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

1.2.Riman va Lebeg integrali ostida limitga o'tishni solishtirish.
Chegaralangan o’lchovli funksiyalar uchun Lebeg integrali, xuddi Riman integrali kabi quyidagi xossalarga ega.
2-teorema. Agar Ye to’plamda o’lchovli bo’lgan va chegaralangan f(x) funksiya uchun m  f(x)  M tengsizlik bajarilsa, u holda
m(E)   M(E)
tengsizlik o’rinli bo’ladi.
Isboti. Bu holda tuzilgan s_n va S_n yiQindilar uchun
m(E)  s_n  S_n  M(E)
tengsizliklar o’rinli. O’osil qilingan tengsizliklarda tegishli limitlarga o’tilsa, yuqoridagi munosabatlar kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
1-Natija. Agar o’lchovli f(x) funksiya Ye to’plamda manfiy bo’lmasa, u holda uning bu to’plam bo’yicha olingan integrali ham manfiy bo’lmaydi, ya’ni agar f(x)  0 bo’lsa, u holda
 0
bo’ladi.
2-Natija. Agar Ye to’plamning o’lchovi nolь (ya’ni, (E) = 0) bo’lsa, u holda har qanday, chegaralangan o’lchovli f(x) funksiya uchun
= 0
bo’ladi.
3-Natija. Ixtiyoriy s o’zgarmas son uchun
= c
tenglik o’rinli.
3-teorema. Agar E, E_i, (i = 1, 2, ) o’lchovli to’plamlar bo’lib, ular uchun
E= E_i (E_iE_j = , i  j)
munosabat o’rinli va f(x) o’lchovli funksiya Ye to’plamda berilgan bo’lsa, u holda
=
tenglik bajariladi.
Integralning bu xossasi uning to’la additivligi deyiladi.
4-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda, f₁(x) va f₂(x) o’lchovli funksiyalar berilgan bo’lsa, u holda
= +
tenglik o’rinli.
5-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda berilgan f(x) va g(x) o’lchovli funksiyalar o’zaro ekvivalent bo’lsa, u holda
=
bo’ladi.
6-teorema. Agar o’lchovli Ye to’plamda f(x) va g(x) o’lchovli funksiyalar uchun f(x)  g(x) bo’lsa, u holda

bo’ladi.
7-teorema. Quyidagi tengsizlik o’rinli:
| |  .