Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

Umumiy hol. (1-usul) Funksiyalarning qiymatlariga ko’ra integral qurish.
Ma’lumki funksiya to’ғri chiziqda, ya’ni sonlar o’qida aniqlangan bo’lsa, uning aniqlanish sohasini bir nechta bo’laklarga bo’lish yordamida Riman integrali quriladi. Ammo funksiya to’ғri chiziqda emas, balki biror o’lchovli, ya’ni o’lchov kiritilgan to’plamda aniqlangan bo’lsa, bu to’plamni oraliqlarga bo’lish degan tushunchaning o’zi ma’noga ega emas. Shuning uchun, funksiyaning qiymatlaridan foydalanib integral qurishni o’rganamiz.
O’lchovli Ye to’plamda aniqlangan va chegaralangan f(x) funksiyaning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mos ravishda, A va V orqali belgilangan bo’lsin. Endi [A,B] segmentni qandaydir usulda n ta qismga bo’lamiz:
A = y_o < y₁ < y₂ < . . . < y_n-1 < y_n = B
Biz Ye_ (=0, 1, 2,  , n-1) orqali u_  f(x) < y_+1
tengsizlikni qanoatlantiradigan x nuqtalardan iborat to’plamni belgilaymiz, ya’ni Ye_ = {x  E : u_  f(x) < y_+1}.
Berilgan f(x) funksiya o’lchovli bo’lganligi uchun Ye_ to’plam o’lchovli bo’ladi.
Endi ushbu
(1)
yiQindilarni tuzamiz (s_n va S_n ni mos ravishda quyi va yuqori yiQindilar deyiladi) va quyidagi ta’rifni kiritamiz:
1-ta’rif. Agar ) nolga intilganda (n) s_n va S_n yiQindilarning limiti mavjud bo’lib, ular bir-biriga teng bo’lsa va bu limit y_ nuqtalarni tanlab olishga boQliq bo’lmasa, u holda bu limit f(x) funksiyaning Ye to’plamdagi Lebeg integrali deyiladi va bu integral yuqoridagi, xususiy hollar kabi ushbu
yoki
ko’rinishida belgilanadi.
Bunday integralning mavjudligi haqida tasdiq va teoremalar ko’p. Shulardan birini keltiramiz.
1-teorema. Agar f(x) funksiya o’lchovli Ye to’plamda o’lchovli va chegaralangan bo’lsa, u holda uning Lebeg integrali mavjud.
Isboti. Chegaralangan va o’lchovli f(x) funksiya olib, uning uchun (1) kabi s_n va S_n yiQindilar tuzib ularning umumiy limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz.
Bu funksiya chegaralangan bo’lganligi uchun uning aniq quyi va aniq yuqori chegaralari mavjud va bu qiymatlarni mos ravishda A va V orqali belgilaylik.
[A,B] segmentni ikki usulda n ta va k ta qismlarga bo’lamiz:
A = y_o < y₁ < y₂ < . . . < y_n-1 < y_n = B, (2)

A = y’_o < y’₁ < y’₂ < . . . < y’_k-1 < y’_k = B. (3)

Agar
, ,  = max{ _n ,_k }
belgilashlarni kiritsak, u holda y_ va y’_ bo’linish nuqtalari uchun
y_+1 - y_   ( = 0, 1, ... , n-1 ),
va
y’_+1 - y’_   ( = 0, 1, ... , k-1 )
tengsizliklar bir vaqtda bajariladi. Bu tengsizliklardan esa, quyidagi munosabatlar kelib chiqadi:
S_n – s_n =   = (E),
S’_k – s’_k =   = (E),
bu yerda s’_k va S’_k sonlar (yiQindilar) (3) bo’linish uchun tuzilgan quyi va yuqori yiQindilar.
Endi, (2) va (3) ko’rinishdagi bo’linish nuqtalarini, ya’ni y_ va y’_ bo’linish nuqtalarining hammasini birlashtirib, yangi bo’linish nuqtalari sifatida olamiz. Bunday bo’linishga mos s”_n+k va S”_n+k yiQindilarni tuzamiz. Natijada, s_n va s’_k yiQindilar kamaymaydi, shuningdek S_n va S’_k yiQindilar esa ortmaydi.
Demak,
s_n  s”_n+k  S”_n+k  S_n ,
(4)
s’_k  s”_n+k  S”_n+k  S’_k
tengsizliklar o’rinli bo’ladi.
Haqiqatan, agar (y_ , y_+1) oraliqni birorta, yangi  nuqta yordamida (y_ ,) va (, y_+1) oraliqlarga bo’lsak, u holda ushbu
y_ ( E_)  y_{E(y_  f < )} + {(  f < y_+1)}
tengsizlik bajariladi. Bundan ko’rinadiki, s_n  s”_n+k , ya’ni qo’shimcha bo’linish nuqtalari kiritilishi natijasida quyi yiQindi kamaymaydi.
Xuddi shuningdek, ushbu
y_+1 ( E_)  {E(y_  f < )} + y_+1{(  f < y_+1)}

tengsizlikni ham yozishimiz mumkin. Bundan ko’rinadiki, yangi nuqta kiritish natijasida S_n yiQindining mos hadi qiymati ortmas ekan, demak, S_n yuqori yiQindining o’zi ham ortmaydi.

Yuqoridagi (4) munosabatlardan ko’rinadiki, (s_n,S_n) va (s’_k,S’_k) oraliqlar (s”_n+k,S”_n+k) oraliqdan iborat umumiy qismga ega ekan. Demak, s_n ,s’_k,S_n va S’_k sonlarning hammasi uzunligi 2(E) dan katta bo’lmagan oraliqda joylashgan.
Bu yerdagi  musbat sonni istalgancha kichik qilish mumkinligi va matematik analizdagi yaqinlashish printsipidan {s_n} va {S_n} ketma-ketliklarning umumiy limitga ega ekanligi kelib chiqadi.
Demak, ta’rifga ko’ra ixtiyoriy chegaralangan o’lchovli f(x) funksiyaning Lebeg integrali har doim mavjud ekan. Teorema isbot bo’ldi.