Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

2.2. Integrallanuvchi funksiyalar metrik fazosi(L1 fazo).
Aytaylik X o’lchovli to’plam va  undagi o’lchov va (X)< bo’lsin. Funksiya berilgan deganda, X da aniqlangan o’lchovli funksiyalarni tushunamiz.
2-ta’rif. Agar X da berilgan f(x) funksiya uchun
< 
bo’lsa, u holda f(x) funksiya kvadrati bilan integrallanuvchi funksiya deyiladi.
Kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar to’plamini (sinfini) L₂(X, ) orqali belgilaymiz.
6-teorema. L₂(X, ) to’plam chiziqli fazo bo’ladi.
Isboti. Aytaylik f(x), g(x)  L₂(X, ) bo’lsin. U holda
(f(x) + g(x))²  2(f²(x)+g²(x))
tengsizlikdan
(f(x) + g(x))²  2( + ) < 
kelib chiqadi, ya’ni f(x)+g(x)  L₂(X, ).
Xuddi shuningdek, ixtiyoriy  son uchun
=² < 
munosabatdan f(x)  L₂(X, ) kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Endi, L₂(X,) da masofa tushunchasini aniqlaymiz.
Dastlab, kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar integraliga aloqador va kelgusi xulosalarda ishlatiladigan, ba’zi tengsizliklarni ko’rib chiqamiz.


7-teorema. Ixtiyoriy f(x), g(x)  L₂(X, ) funksiyalar uchun Koshi-Bunyakovskiy tengsizligi deb ataladigan
 (3)
tengsizlik va
 + (4)
tengsizlik o’rinli.
Isboti. Ixtiyoriy  soni uchun bo’lishi ravshan. Bundan +2 +² 0 kelib chiqadi. Ma’lumki,  ga nisbatan a²+2b+c kvadrat uchhad qiymatlari musbat bo’lishi uchun uning diskriminanti manfiy bo’lishi kerak: D=4b² – 4ac  0. Demak, b²  ac. Yuqoridagi tengsizlikda =s, =b, =a ekanini e’tiborga olsak (3) tengsizlik hosil bo’ladi.
Endi, (4) tengsizlikni isbotlash qiyinchilik tuQdirmaydi:
= +2 + 
 +2 + =
= .
Teorema isbot bo’ldi.
Agar (3) tengsizlikda g(x)  1 deb olsak
 (X) (5)
munosabatga ega bo’lamiz.