Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

8-teorema. Ixtiyoriy f(x), g(x)  L₂(X, ) funksiyalar uchun
(f,g) = (6)
formula metrika aniqlaydi.
Isboti. Metrika aksiomalari bajarilishini tekshiramiz.
1) (f,g)  0 ekani ravshan. (f,g)=0  =0  f(x) = g(x).
2) (f,g) = (g,f) ekani ravshan.
3) Metrikaning uchburchak aksiomasi (4) tengsizlikdan kelib chiqadi. Ixtiyoriy f(x), g(x), h(x)  L₁(X, ) uchun
(f,g)= =   + =(f,h)+ (h,g).
3-ta’rif. Chiziqli fazo L₂(X, ), yuqoridagi (6) metrika bilan birgalikda L₂ fazo deyiladi.
Shu (6) metrika yordamida aniqlangan yaqinlashish o’rtacha kvadratik yaqinlashish deb yuritiladi.
9-teorema. L₂ fazo to’la metrik fazo bo’ladi.
Isboti. Aytaylik L₂ fazoda {f_n(x)} fundamental ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Ya’ni {f_n(x)} ketma-ketlik uchun n,m da
 0
bo’lsin. U holda (5) tengsizlikka asosan
  0
munosabat o’rinli bo’ladi. Demak, berilgan {f_n(x)} ketma-ketlik L₁ fazoda ham fundamental bo’lar ekan.
Xuddi L₁ fazoning to’laligini isbotlaganimizdagi kabi mulohazalar yuritib, {f_n(x)} ketma-ketlikdan qism ketma-ketlik ajratib olamiz va u biror f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashadi.
Endi, bu qism ketma-ketlikning yetarlicha katta k va l hadlari uchun o’rinli bo’lgan
< 
tengsizlikda, 3-teoremadan foydalanib l   limitga o’tamiz.
Natijada,
 
munosabat hosil qilinadi. Bundan f(x)L₂ va  f kelib chiqadi.
Metrik fazoda fundamental ketma-ketlik, biror limitga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega bo’lsa, u holda ketma-ketlikning o’zi ham shu limitga yaqinlashadi.
Demak, L₂ fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik L₂ da yaqinlashuvchi ekan. Teorema isbot bo’ldi.