Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

8- teorema. Agar f(x)  0 va
=0
bo’lsa, u holda f(x) funksiya Ye to’plamda deyarli nolga teng bo’ladi.
Bu tasdiq va xulosalarning isboti bir oz o’zgartirishlar va belgilashlar yordamida xuddi Riman integrali uchun berilgan isbotlarga o’xshash bulganligi sababli keltirmadik. Isbotlarni mustaqil mashq sifatida tiklashga harakat qiling.

Lebeg integralini hisoblashga doir misollar

1-misol. Ushbu

funksiya [0,1] da Riman bo’yicha integrallanuvchimi? Lebeg bo’yicha-chi? Uning [0,1] dagi integralini hisoblang.
Echish. Bu funksiya [0,1] da Riman bo’yicha integrallanuvchi emas, chunki uning uzilish nuqtalari to’plami o’lchovi noldan farqli-[0,1] kesmaning x=1 dan boshqa barcha nuqtalari. f(x) Lebeg bo’yicha integrallanuvchi, chunki u o’lchovli va chegaralangan. Uning Lebeg integralini hisoblash uchun, f(x) ni unga ekvivalent bo’lgan g(x)=x³ funksiya bilan almashtiramiz. U holda
.
2-misol. Agar f(x) funksiya [a,b] da f’(x) hosilaga ega va f’(x) [a,b] da chegaralangan bo’lsa, u holda f’(x) ning [a,b] da Lebeg bo’yicha integrallanuvchi bo’lishini isbotlang.
Echish. Shartlardan kelib chiqadiki f’(x) [a,b] da o’lchovli (5-bob, 1-§, 2-misol) va chegaralangan. Ma’lumki, o’lchovli va chegaralangan funksiya Lebeg bo’yicha integrallanuvchi. Demak, f’(x) funksiya [a,b] da Lebeg bo’yicha integrallanuvchi.


1.2.Riman va Lebeg integrali ostida limitga o'tishni solishtirish.
Ma’lumki, Riman integrali to’ғri chiziqda berilgan funksiyalar uchun aniqlangan.
9-teorema. Agar [a,b] segmentda f(x) funksiya uchun Riman integrali mavjud bo’lsa, u holda bu funksiya uchun Lebeg integrali ham mavjud bo’ladi va bu integrallar o’zaro ustma-ust tushadi.
Isboti. Aytaylik f(x) funksiyaning [a,b] segmentda Riman integrali mavjud bo’lsin. U holda quyidagilar o’rinli:

• 
  f(x) funksiya chegaralangan;
  
• 
  f(x) funksiyaning uzilish nuqtalari o’lchovi nolga
  

teng, ya’ni f(x) funksiya deyarli uzluksiz.
Bulardan f(x) ning [a,b] segmentda o’lchovli ekanligi kelib chiqadi. Demak, f(x) funksiya chegaralangan va o’lchovli. U holda 1-teoremaga ko’ra f(x) funksiya uchun Lebeg integrali mavjud.
Endi f(x) funksiyaning Riman va Lebeg integrallari o’zaro teng bo’lishini ko’rsatamiz.
Odatdagidek, [a,b] segmentni n ta [x_k,x_k+1] segmentchalarga bo’lamiz. Lebeg integralining 2-teoremada keltirilgan xossasiga asosan, shu [x_k,x_k+1] segment uchun
m_kx_k  (L)  M_kx_k
tengsizlikni yozamiz, bu yerda x_k = x_k+1 – x_k, m_k va M_k mos ravishda f(x) funksiyaning [x_k,x_k+1] segmentdagi quyi va yuqori chegaralari. Bu tengsizlikdan foydalanib

s_n=

= =S_n, (*)
munosabatga kelamiz. Bu yerdagi s_n va S_n lar f(x) funksiyaning, [a,b] segment bo’yicha tuzilgan Darbu yiQindilari.
Berilishiga ko’ra f(x) funksiyaning [a,b] segmentda Riman integrali mavjud. Shu sababli, ta’rifga asosan,
(**)
munosabatlar o’rinli. Bu yerda .
Yuqoridagi (*) va (**) munosabatlardan bevosita quyidagi tenglik kelib chiqadi:
.
Teorema isbot bo’ldi.

Endi Lebeg integralini qurishning boshqa bir, ikkinchi usuli bilan tanishamiz.

Mana shu sodda funksiyalar uchun Lebeg integrali tushunchasini beramiz. Shuningdek, o’sha yerdagi 17-teoremaga ko’ra ixtiyoriy o’lchovli funksiyaga tekis yaqinlashuvchi sodda funksiyalar ketma-ketligi mavjudligi integral qurishda asosiy rol o’ynaydi.
Faraz qilaylik, Ye to’plamning biror o’lchovli A qismida aniqlangan f(x) sodda funksiya berilgan bo’lib, y₁, y₂,  , y_n,  uning barcha qiymatlari bo’lsin.
Ushbu
A_n = {xA : f(x) = y_n} , n = 1, 2, 
to’plamlarni olamiz. Bu to’plamlar 5-bobdagi 16-teoremaga ko’ra o’lchovli. Demak, (A_n) son aniq qiymatga ega.

Quyidagi

(1)
qatorni tuzamiz.
2-ta’rif. Agar f(x) sodda funksiya orqali hosil qilingan (1) qator absolyut yaqinlashsa, u holda uning qiymati f(x) funksiyaning Lebeg integrali deyiladi va u ushbu

ko’rinishda yoziladi, f(x) funksiya esa  o’lchov bo’yicha A to’plamda integrallanuvchi yoki jamlanuvchi funksiya deyiladi.
Bu ta’rifda f(x) sodda funksiyaning qiymatlari bo’lgan y_n sonlar bir-biridan farqli deb qaraldi. Umuman, sodda funksiyalarning Lebeg integralini, uning qiymatlari, bir-biridan farqli bo’lmagan hol uchun ham aniqlash mumkin.
10-teorema. Agar A= B_k, B_kB_j=, kj, k=1, 2, ... bo’lib, f(x) funksiya har bir V_k to’plamda o’zgarmas s_k songa teng bo’lsa, u holda
(2)
tenglik o’rinli bo’ladi va f(x) funksiyaning integrallanuvchi bo’lishi uchun o’ng tomondagi qatorning yaqinlashuvchi bo’lishi zarur va yetarlidir.
Isboti. Sodda funksiyaning bir-biridan farqli qiymatlarini y₁, y₂, ..., y_n,... orqali belgilasak, A_n={xA: f(x)=y_n} to’plam uchun A_n= B_k munosabotga va (A_n)= tenglikka ega bo’lamiz. Bulardan (1) va (2) qatorlarning tengligi kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
Sodda funksiyalar uchun aniqlangan Lebeg integrali ham quyidagi xosalariga ega bo’lishi oson ko’rsatiladi:
A.

1. 
   B. Ixtiyoriy k o’zgarmas son uchun
   

tenglik o’rinli.
C. O’lchovli A to’plamda chegaralangan f(x) funksiya integrallanuvchi, qolaversa, agar A da |f(x)|  M bo’lsa, u holda

bo’ladi.
Bu xossalarninng isboti, sodda funksiyalar yordamida tuzilgan (1) kabi qatorlar yaqinlashuvchi bo’lishidan kelib chiqadi.

Mashqlar

1. y = [x] funksiyani [3,13] to’plam bo’yicha integrallang. Bu yerda [x]- belgi, x ning butun qismi.

2. [0,13) da y= funksiyani integrallang.
3. [0,17) da y=sin[x] funksiya integrallanuvchi bo’ladimi? Agar integrallanuvchi bo’lsa, u holda uning integralini hisoblang.
4. Ixtiyoriy n uchun
f(x)= , agar < x < bo’lsa,

funksiya [0,1] oraliqda integrallanuvchi ekanini ko’rsating va bu integralni hisoblang.

Bu yerda, avvalgi 3-§ da, sodda funksiyalar uchun kiritilgan integral yordamida o’lchovli funksiyalar uchun Lebeg integrali tushunchasini aniqlaymiz.
Aytaylik X biror to’plam va F undagi qism to’plamlar -algebrasi,  esa F da berilgan  - additiv o’lchov bo’lsin.
11-teorema. A to’plamda integralanuvchi, sodda funksiyalardan iborat {f_n(x)} ketma-ketlik tekis yaqinlashuvchi bo’lsa, u holda ushbu

limit mavjud.
Isboti. Tekis yaqinlashish xossasidan, A to’plamda tekis yaqinlashuvchi ixtiyoriy {f_n(x)} funksiyalar ketma-ketligi uchun n, m  da ushbu
| f_n(x) - f_m(x)|  0
munosabat o’rinli bo’lishi kelib chiqadi.
Sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining S. xossasiga ko’ra

tengsizlik o’rinli.
Bundan va yuqoridagi tengsizlikdan

sonlar ketma-ketligining fundamentalligi kelib chiqadi. Demak, I_n ketma-ketlik yaqinlashuvchi bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
12-teorema. Agar {f_n(x)} va {g_n(x)} ketma-ketliklar A to’plamda integrallanuvchi bo’lgan sodda funksiyalardan iborat bo’lib, shu to’plamda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashsa, u holda

bo’ladi.
Isboti. Aytaylik {f_n(x)} va {g_n(x)} sodda funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga tekis yaqinlashsin. U holda, n da
| f_n(x) - f(x)|  0 va | g_n(x) - f(x)|  0 (*)

munosabatlar o’rinli bo’ladi. Bulardan va sodda funksiyalar uchun Lebeg integralining A, V, S xossalariga ko’ra

tengsizlikka ega bo’lamiz. Bundan va (*) munosabatdan

tenglik kelib chiqadi. Teorema isbot bo’ldi.
3-ta’rif. Ushbu

limit A to’plamda f(x) funksiyaga tekis yaqinlashuvchi {f_n(x)} sodda funksiyalar ketma- ketligining tanlanishiga boQliq bo’lmasa, u holda bu limitning I qiymati, f(x) funksiyaning A to’plamda,  o’lchov bo’yicha Lebeg integrali deyiladi va

ko’rinishda belgilanadi.
Agar f(x) funksiyaning  o’lchov bo’yicha A to’plamda Lebeg integrali mavjud bo’lsa, u holda bu funksiya integrallanuvchi yoki jamlanuvchi funksiya deyiladi.
13-teorema. Agar (x) funksiya Ye to’plamda integrallanuvchi bo’lib, f(x) o’lchovli funksiya uchun |f(x)|(x) tengsizlik ixtiyoriy xE da bajarilsa, u holda f(x) funksiya ham Ye da integrallanuvchi bo’ladi va

munosabat o’rinli.
Bu teoremaning isbotini mustaqil mashq sifatida o’quvchilarning o’ziga qoldiramiz.