Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

II.Bob.Umumiy hol uchun Lebeg integrali ostida limitga o'tish ta’rifi 2.1.Kvadrati bilan integrallanuvchi funksiyalar metrik fazosi(L2 fazo).
Riman integrali bilan boQliq masalalarni yechishda, ba’zan integral belgisi ostida limitga o’tishga doir, bir qancha xulosa va tasdiqlardan foydalaniladi. Lebeg integrali uchun ham shunday xossalarning ayrimlari o’rinli bo’ladi.
Aytaylik X o’lchovli to’plam va  undagi o’lchov bo’lsin. X ning biror A, o’lchovli qism to’plamini olamiz.
1-teorema. Aytaylik (x) funksiya A da integrallanuvchi bo’lsin. Agar {f_n(x)} funksiyalar ketma-ketligi A to’plamda f(x) funksiyaga yaqinlashsa va barcha xA, nN larda
|f_n(x)|  (x)
shartni qanoatlantirsa, u holda limit funksiya f ham A integrallanuvchi bo’ladi va
=
tenglik bajariladi.
Isboti. Teorema shartidan f(x) uchun |f(x)|  (x) bo’lishi kelib chiqadi. Shuning uchun, 6-bobdagi 6-teoremaga ko’ra f(x) ham integrallanuvchi bo’ladi.
6-bobdagi 2-teoremaga asosan, ixtiyoriy kichik >0 son uchun shunday >0 soni topiladiki, (V)< shartni qanoatlantiruvchi V o’lchovli to’plam uchun
< (1)
bo’ladi.
Egorov teoremasiga ko’ra V ni shunday tanlash mumkinki, {f_n(x)} funksiyalar ketma-ketligi A\V to’plamda tekis yaqinlashadi. Demak, shunday bir N nomer topilib, barcha n  N va x  A\V uchun
|f(x) - f_n(x)| <
munosabat o’rinli bo’ladi. U holda |f(x)|  (x), |f_n(x)|  (x) bo’lgani uchun
- = + -
tenglikka va (1) ga ko’ra
 + + =
bo’lishini topamiz. Teorema isbot bo’ldi.
Bu teoremadan foydalanib quyidagi teoremalarni isbotlash mumkin.
2-teorema. Aytaylik A to’plamda berilgan {f_n(x)} integrallanuvchi funksiyalar ketma-ketligi
f₁(x)  f₂(x)  . . .  f_n(x)  . . .
shartni qanoatlantirsin va biror K soni uchun
 K
tengsizlik barcha n larda o’rinli bo’lsin. U holda {f_n(x)} funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashadi, f(x) ham A to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
=
tenglik bajariladi.
3-teorema. Agar {f_n(x)} musbat o’lchovli funksiyalar ketma-ketligi f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashsa va biror K soni uchun
 K
tengsizlik barcha n larda o’rinli bo’lsa, u holda f(x) ham A to’plamda integrallanuvchi bo’ladi va
 K
shart bajariladi.
Aytaylik X o’lchovli to’plam va  undagi o’lchov bo’lsin. Biz asosan (X) < , ya’ni X to’plamning o’lchovi chekli son bo’lgan holni o’rganamiz.
X to’plamda integrallanuvchi barcha funksiyalar to’plamini (sinfini) L₁(X, ) orqali belgilaymiz.
Lebeg integrali xossalaridan integrallanuvchi funksiyalar yiQindisi va biror songa ko’paytmasi ham integrallanuvchi bo’lishi kelib chiqadi. Bular quyidagicha yoziladi:
f(x), g(x)  L₁(X, )  f(x)+g(x)  L₁(X, ),
 ixtiyoriy son, f(x)  L₁(X, )  f(x)  L₁(X, ).
Demak, L₁(X, ) to’plam chiziqli fazo tashkil qiladi.
Izoh. Funksiyalar teng deganda, f(x) = g(x) tenglik deyarli barcha x lar uchun o’rinli bo’lgan hol tushinilishini eslatib o’tamiz:
f(x) = g(x)  { x : f(x)  g(x)} = 0.
Endi, L₁(X, ) to’plamda masofa tushunchasi quyidagicha kiritiladi.