Kirish I. Bob. Lebeg Integral tushunchasi va uni qurishning birinchi usuli

4-teorema. Ixtiyoriy f(x), g(x)  L₁(X, ) funksiyalar uchun
(f,g) = (2)
formula L₁(X, ) da metrika aniqlaydi.
Isboti. Metrika aksiomalari bajarilishini tekshiramiz.
1) (f,g)  0 ekani ravshan. (f,g)=0  =0  f(x) = g(x).
2) (f,g) = (g,f) ekani ravshan.
3) Ixtiyoriy f(x), g(x), h(x)  L₁(X, ) uchun
(f,g)= =   + =(f,h)+ (h,g).
1-ta’rif. Chiziqli fazo L₁(X, ), yuqoridagi (2) metrika bilan birgalikda L₁ fazo deyiladi.
Shu (2) metrika yordamida aniqlangan yaqinlashishni o’rtacha yaqinlashish deb yuritiladi.
5-teorema. L₁ fazo to’la metrik fazo bo’ladi.
Isboti. Aytaylik L₁ fazoda {f_n(x)} fundamental ketma-ketlik berilgan bo’lsin. Ya’ni {f_n(x)} ketma-ketlik uchun n,m da
(f_n, f_m)  0, ya’ni 0
bo’lsin. U holda indekslarning shunday bir n₁ < n₂ < . . . o’suvchi qism ketma-ketligi topiladiki,
( ) = <
tengsizlik o’rinli bo’ladi. Bundan va 2-teoremadan
+ + . . .
qatorning X da deyarli yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi. Shuning uchun,
+ + . . .
qator ham X da biror f(x) funksiyaga deyarli yaqinlashadi:
f(x) = .
Demak, L₁ fazoda fundamental bo’lgan ketma-ketlik deyarli yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega. Mana shu qism ketma-ketlik f(x) ga o’rtacha yaqinlashishini ko’rsatamiz.
Berilgan {f_n(x)} ketma-ketlik fundamental bo’lganligi uchun, qanday kichik  > 0 olmaylik, yetarlicha katta p va q lar uchun
< 
bo’ladi. 3-teoremaga asoslanib bu tengsizlikda q bo’yicha integral ostida limitga o’tamiz:
 .
Bundan f(x)  L₁(X, ) va  f(x) kelib chiqadi.
Ma’lumki, metrik fazoda fundamental ketma-ketlik biror limitga yaqinlashuvchi qism ketma-ketlikka ega bo’lsa, u holda ketma-ketlikning o’zi ham shu limitga yaqinlashadi.
Demak, L₁ fazodagi ixtiyoriy fundamental ketma-ketlik L₁ da yaqinlashuvchi ekan. Teorema isbot bo’ldi.