Kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da o‘quv jarayonining moddiy-texnika va axborot bazasi yetarli emasligi, yuqori malakali pedogog-kadrlarning yetishmasligi

BOB. Darajali qatorlar.

1. 
   Darajali qator va uning yaqinlashish intervali
   

Ushbu
(5)

ko‘rinishdagi funksional qator darajali qator deyiladi, bunda

haqiqiy sonlar darajali qatorning koeffitsiyentlari deyiladi.
Agar (5) darajali qator nuqtada yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarida, ya’ni
intervalda qator absolyut yaqinlashuvchi bo‘ladi. (Abel teoremasi.)
Agar (5) darajali qator nuqtada uzoqlashuvchi bo‘lsa, ya’ni

sonli qator uzoqlashuvchi bo‘lsa, u holda ning tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymatlarda, ya’ni ushbu to‘plamda (5) qator uzoqlashuvchi bo‘ladi.
Quyidagi
(1)
kо‘rinishdagi qator darajali qator deyiladi, bunda a₀, a₁, a₂, ..., a_n о‘zgarmas haqiqiy sonlar bо‘lib, ular (1) qatorning koeffitsiyentlari deyiladi.
1-teorema. (Abel teoremasi) Agar

darajali qator x=x₀ (x≠0) nuqtada yaqinlashuvchi bо‘lsa, u holda x ning |x|<|x₀| tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha nuqtalarida darajali qator absolyut yaqinlashuvchi bо‘ladi.
Isboti. Modomiki darajali qator x=x₀ (x≠0) nuqtada yaqinlashuvchi ekan, unda

sonli qator yaqinlashuvchi bо‘ladi. Qator yaqinlashishining zaruriy shartidan esa

bо‘lishi kelib chiqadi. Demak, ketma-ketlik chegaralangan, ya’ni shunday о‘zgarmas M>0 son mavjud bо‘lib,

tengsizlik bajariladi. Bu tengsizlikdan foydalanib quyi-dagini topamiz:
(2)
Ma’lumki, |x|<|x₀| tengsizlikdan bо‘lishi kelib chiqadi. Demak, ushbu

geometrik qator yaqinlashuvchi. Unda (2) munosabatdan
|a_nxⁿ|=|a₀|+|a₁x|+|a₂x²|+...+|a_nxⁿ|+...
qatorning yaqinlashuvchi bо‘lishini topamiz. Bu esa berilgan darajali qatorning absolyut yaqinlashuvchiligini bildiradi. ■
2-teorema. Agar =a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+...
darajali qator x=x₀ nuqtada uzoqlashuvchi bо‘lsa, u holda x ning |x|>|x₀| tengsizlikni qanoatlantiruvchi barcha qiymat-larida uzoqlashuvchi bо‘ladi.
3-teorema. Agar qator x=0 da va x ning ba’zi qiymatlarida yaqinlashuvchi bо‘lsa, u holda shunday R>0 mavjudki, |x| da qator absolyut yaqinlashuvchi va |x|>R da uzoqlashuvchi bо‘ladi.
Isboti. qator yaqinlashuvchi bо‘ladigan nuqtalar tо‘plamini X bilan belgilaymiz.
X tо‘plamni chegaralanganligini kо‘rsatamiz. Haqiqatdan, agar x₁ nuqtada qator uzoqlashuvchi bо‘lsin (shartga kо‘ra bunday nuqta mavjud), u holda Abel teoremasiga kо‘ra ixtiyoriy xX uchun |x|<|x₁| tengsizlik bajariladi. Ma’lumki, yuqoridan chegaralangan tо‘plam uchun aniq yuqori chegara mavjud. R= bо‘lsin. Qator x=0 dan boshqa nuqtalarda ham yaqinlashuvchi bо‘lgani uchun, u holda R>0. Shunday ixtiyoriy x ni olamizki, buning uchun |x|. Aniq yuqori chegaraning xossasiga kо‘ra shunday x₀X topiladiki, buning uchun |x|<|x₀|R, bundan Abel teoremasi bо‘yicha olingan x da qatorni absolyut yaqinlashuvchiligi kelib chiqadi.