Kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da o‘quv jarayonining moddiy-texnika va axborot bazasi yetarli emasligi, yuqori malakali pedogog-kadrlarning yetishmasligi

1.2.Intervalga darajali qatorning yaqinlashish
Ixtiyoriy x ni olamizki, buning uchun |x|>R. Shundayki xX. Demak, bu x da qator uzoqlashuvchi. ■ Shunday qilib, darajali qatorning yaqinlashish sohasi masalasi hal qilindi. (-R, R) intervalga darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi. Ba’zi qatorlarning yaqinlashish intervali nuqtaga aylanishini (R=0), ba’zilarida esa ox о‘qni butunlay о‘z ichiga olishini (R=) aytib о‘tamiz. x=R da berilgan qatorning yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqidagi masala har bir konkret qator uchun yakka-yakka hal etiladi.
4-teorema. Agar limit mavjud bо‘lsa, u holda darajali qatorning yaqinlashish radiusi
ga teng.
Isboti. |a_nxⁿ| qatorni qaraymiz.
Shartga kо‘ra mavjud.
Buni orqali belgilaymiz. U holda
.
Har bir x ning qiymatida darajali qator sonli qatorga aylanadi. Shuning uchun Dalamber belgisiga kо‘ra |a_nxⁿ| qator yaqinlashadi, agar , ya’ni |x|.
Demak, о‘zgaruvchan ishorali qatorlarni yaqinlashishi haqidagi teoremaga kо‘ra qator ham |x|da yaqinlashadi, shu bilan birga absolyut yaqinlashadi. |x|>R da qator uzoqlashuvchi, chunki , va demak qatorni a_nxⁿ umumiy hadi n da nolga intilmaydi. Shunday qilib berilgan qator (-R, R) intervalni ichida yaqinlashuvchi va tashqarisida uzoqlashuvchi, ya’ni yaqinlashish radiusi ga teng. ■

1-misol. Ushbu darajali qatorning yaqinlashish intervalini toping.

Yechilishi. Dalamber belgisini qо‘llaymiz:

Bundan berilgan darajali qatorning yaqinlashish radiusi R= va yaqinlashish sohasi (-; + ) dan iborat.
2-misol. Ushbu qatorning yaqinlashish sohasini toping.

Yechilishi. Bu qatorning yaqinlashish radiusi

Bu oxirgi limitni hisoblashda Lopital qoidasidan foydalanamiz:

Demak, yaqinlashish radiusi R=1.
Yaqinlashish intervali (-1; 1) bо‘ladi. Endi yaqinlashish inter-valining oxirlarida, ya’ni x=-1 va x=1 nuqtalarida qator-ning yaqinlashishini tekshiramiz.
x=-1 da ishoralari navbatlashuvchi ushbu qatorga ega bо‘lamiz:
.
Bu qator Leybnits teoremasiga kо‘ra yaqinlashuvchi bо‘ladi.
x=1 da ;
qator hosil bо‘ladi. Bu qatorni integral belgisi bо‘yicha tekshirilganda, bu qator uzoqlashuvchi bо‘ladi. Shunday qilib berilgan qatorni yaqinlashish sohasi [-1; 1) dan iborat bо‘ladi.
Har qanday (5) darajali qator uchun shunday chekli yoki cheksiz musbat son mavjud bo‘ladiki, ning:
1) tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (5) darajali qator yaqinlashuvchi (absolyut yaqinlashuvchi),
2) tengsizlikni qanoatlantiruvchi qiymatlarida (5) darajali qator uzoqlashuvchi,
3) , ya’ni da (5) darajali qator yoki yaqinlashuvchi, yoki uzoqlashvchi bo‘ladi.
Odatda son (5) darajali qatorning yaqinlashish radiusi, interval esa darajali qatorning yaqinlashish intervali deyiladi.
(5) darajali qatorning yaqinlashish radiusi ushbu
(6)
formula yordamida topiladi.
Darajali qator o‘zining yaqinlashish intervaliga tegishli bo‘lgan har qanday oraliqda (segmentda) tekis yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu oraliqda darajali qatorni hadlab differensiallash hamda integrallash mumkin.