Kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da o‘quv jarayonining moddiy-texnika va axborot bazasi yetarli emasligi, yuqori malakali pedogog-kadrlarning yetishmasligi

2.BOB. Funksiyalarni darajali qatorlarga yoyish
2.1. Makloren qatorining qismiy yig‘indisi
7-teorema. Agar f(x) funksiya (-R, R) intervalda
f(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (4)
darajali qatorga yoyilsa, unda bu yoyilma yagona.
Isboti. Shartga kо‘ra (4) qator (-R, R) intervalda yaqinlashadi, va f(x) uning yig‘indisi. Demak, 5-teoremaga kо‘ra (4) qatorni (-R, R) intervalda hadma-had differensial-lash mumkin. Differensiallab ushbuni hosil qilamiz:
f(x)=1a₁+2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+n a_nx^n-1+...
f(x)=12a₂+23a₃x+34a₄x²+45a₅x³+...+n(n-1)a_nx^n-2+...
f(x)=123a₃+234a₄x+...+n(n-1)(n-2)a_nx^n-3+...
f⁽ⁿ⁾(x)=n!a_n+234...(n+1) a_n+1x+...
Olingan tengliklarga va (4) tenglikka x=0 ni qо‘yib quyidagiga ega bо‘lamiz:
f (0)=a₀; f(0)=1a₁, f(0)=2!a₂, f(0)=3!a₃,..., f⁽ⁿ⁾(0)=n!a_n...,
bundan ushbuni topamiz:
a₀=f(0), , , ,...,
, ... (5)
Shunday qilib, (4) qatorni hamma koeffitsiyentlari yagona (5) formulalar bilan aniqlanadi, bu teoremani isbotini kо‘rsatadi. ■
(5) ni (4) ga qо‘yib quyidagini olamiz:

Shunday qilib, agar f(x) funksiya darajali qatorga yoyilsa, unda bu qator ushbu kо‘rinishga ega.
(6)
(6) qatorga f(x) funksiya uchun Makloren qatori deyiladi. Har qanday cheksiz differensiallanuvchi funksiya uchun quyi-dagi Makloren formulasi о‘rinli bо‘ladi:
,
bunda qoldiq had
, =x, o<<1 (7)
Agar Makloren qatorining qismiy yig‘indisi S_n(x) deb belgilansa, unda Makloren formulasini ushbu kо‘rinishda yozish mumkin:
f(x)=S_n(x)+R_n(x) (8)
8-teorema. (6) Makloren qatori (-R,R) da yaqinlashuvchi va о‘zining f(x) yig‘indisiga ega bо‘lishi uchun (-R,R) da Makloren formulasining R_n(x) qoldiq hadi (7) ni n da nolga intilishi, ya’ni x(-R,R) uchun bо‘lishi zarur va yetarli.
Isboti. x(-R, R) uchun bо‘lsin. Shunda (8) tenglikdan kelib chiqadi, ya’ni . Bu (6) Makloren qatorini (-R,R) da yaqinlashishini va uni yig‘indisini f(x) ga teng ekanligini bildiradi. ■
Endi ba’zi elementar funksiyalarni Makloren qatoriga yoyishni kо‘ramiz.