Kirish “Kadrlar tayyorlash milliy dasturi”da o‘quv jarayonining moddiy-texnika va axborot bazasi yetarli emasligi, yuqori malakali pedogog-kadrlarning yetishmasligi

1⁰.f(x)= funksiyani yoyish.
Bu funksiyaning hosilalarini topamiz:
f(x)= , f(x)= , ..., f⁽ⁿ⁾(x)= , .... Sо‘ngra x=0 deb quyidagilarni topamiz:
f(0)=1, f(0)=1, f(0)=1, ..., f⁽ⁿ⁾(0)=1, ...
(6) formuladan foydalanib, f(x)= funksiya uchun Makloren qatorini yozamiz:
(9)
(9) qatorni yaqinlashish intervalini topamiz:

Demak, qator butun sonlar о‘qida absolyut yaqinla-shadi. Endi (9) qatorni yig‘indisi -funksiya ekanligini isbotlaymiz.
Qator yaqinlashishining zaruriy shartiga kо‘ra ixtiyoriy x uchun (10)
tenglik о‘rinli bо‘lishini qayd etamiz.
f⁽ⁿ⁺¹⁾()= bо‘lgani uchun, unda
bunda =x, 0<<1. Bundan < ni e’tiborga olib, ushbuga ega bо‘lamiz:

(10) ga kо‘ra , unda .
Shuning uchun oxirgi tengsizlikda n deb limitga о‘tib, quyidagiga ega bо‘lamiz, ya’ni har qanday x da va funksiya (9) qatorni yig‘indisi bо‘ladi.
Shunday qilib, har qanday x da quyidagi yoyilma о‘rinli
(11)

2⁰. f(x)=sinx funksiyani yoyish.
Quyidagiga ega bо‘lamiz: f(x)=cosh=sin(x+ ),
f(x) = -sinx =sin(x+2 ), ..., f ⁽ⁿ⁾(x) = sin(x+n )
Bundan x=0 deb, quyidagiga ega bо‘lamiz:
f(0)=0, f(0)=1, f(0)=0, f(0)=-1, f^IV(0)=0, ... .
(6) formula bо‘yicha sinx funksiya uchun Makloren qatorini tuzamiz:

Bu qatorni butun sonlar о‘qida absolyut yaqinlashuvchi ekanligini osongina tekshirish mumkin. Qoldiq hadni tekshiramiz.

bunda =x, 0<<1. bо‘lgani uchun, unda . (10) ga kо‘ra .
Demak, . Bu esa sinx funksiya tuzilgan qatorni yig‘indisidan iborat bо‘ladi, ya’ni quyidagi yoyilma о‘rinli (12)
3⁰. f(x)=cosh funksiyani yoyish.
Bu yoyilmani soddaroq sinx uchun berilgan qatorni hadma-had differensiallab cosh funksiya uchun qatorni hosil qilish mumkin :
bundan
(13)
2.2. Makloren qatoriga yoyishda darajali qatorni hadma-had differensiallash
Xuddi shuningdek boshqa funksiyalarni ham Makloren qatoriga yoyish mumkin. cosh funksiyani Makloren qatoriga yoyishda darajali qatorni hadma-had differen-siallash xossasidan foydalandik. Shuningdek darajali qatorni hadma-had integrallash xossasidan foydalanish mumkin. Misol sifatida ln(1+x) va arctgx funksiyalarni yoyilmasini topishda darajali qatorni hadma-had integrallashdan foydalanamiz.
1+x+x²+x³+...+xⁿ+... qatorni qaraymiz. Berilgan qator maxraji q=x va birinchi hadi birga teng bо‘lgan geometrik progressiY. Ma’lumki, |x|<1 da berilgan qator yaqinlashuvchi va uning yig‘indisi ga teng. Demak,
=1+x+x²+x³+...+xⁿ+... (14)
(14) tenglik f(x)= funksiyani darajali qatorga yoyilmasidan iborat. (14) tenglikda x о‘rniga (-t) ni qо‘yib quyidagi tenglikni olamiz:
=1-t+t²-t³+...+(-1)ⁿtⁿ +...,
bu tenglik |t|<1 da о‘rinli. Bu darajali qatorni 0 dan x (|x|<1) gacha hadma-had integrallaymiz.
Ushbuga ega bо‘lamiz:


Bundan
(15)
(15) tenglik |x|<1 da о‘rinli va bu tenglik x=1 da ham о‘rinli.
Haqiqatdan, x=1 da (15) ni chap tomoni ln2 ga teng, о‘ng tomoni esa
(16)
qator Leybnits teoremasiga kо‘ra yaqinlashuvchi.
ln2= (17)
tenglikni tо‘g‘ri ekanligini tekshirish qoldi.
Buning uchun
=1-t+t²-t³+...+(-1)^n-1t^n-1+(-1)ⁿ
tenglikni 0 dan 1 gacha integrallaymiz:

ya’ni
ln2= (18)
Bu tenglikda birinchi n qо‘shiluvchi (16) qatorni S_n qismiy yig‘indisidan iborat. (18) ni quyidagi kо‘rinishda yozamiz:
ln2-S_n= . (19)
0t1 da bо‘lgani uchun, unda
.
Demak, , bu esa (17) ni о‘rinli ekanligi-ni kо‘rsatadi.
Endi arctgx funksiyaning yoyilmasini topamiz. (14) da x о‘rniga (-t²) ni qо‘yib, uni t bо‘yicha o dan x gacha integrallab, quyidagiga ega bо‘lamiz:
(20)
bu tenglik |x|1 da о‘rinli.
2.3. Funksiyalarning qiymatlarini qatorlar yordamida taqribiy hisoblash
Ba’zi funksiyalarning qiymatlarini qatorlar yordamida taqribiy hisoblashni qaraymiz.
3-misol. sonini 0,001 gacha aniqlik bilan hisoblang.
Yechilishi. Ma’lumki, har qanday x uchun (11) yoyilma о‘rinlidir:

x=1 da quyidagiga egamiz:

Dastlabki (n+1) ta hadni olib,
.
taqribiy tenglikni hosil qilamiz.
Yaqinlashish xatoligini Makloren qatorining qoldiq hadi yordamida baholaymiz.
f⁽ⁿ⁺¹⁾(x)= bо‘lgani uchun , bu yerda s son o va x orasida yotadi. x=1 da:
, 0.
< <3 ekanini e’tiborga olib, ni hosil qilamiz. Agar n=5 bо‘lsa, u holda
, agar n=6 bо‘lsa, u holda . Shu sababli talab qilingan aniqlikka erishish uchun n=6 deb olish yetarlidir.
Shunday qilib, 0,001 gacha aniqlik bilan quyidagiga egamiz:
.
Demak, 0,001 gacha aniqlik bilan: =2,718.
4-misol. sin18⁰ ni 0,0001 gacha aniqlik bilan hisoblang.
Yechilishi. sinx uchun x ning barcha qiymatlarida о‘rinli bо‘lgan (12) yoyilmaga egamiz:

18⁰ ni radian orqali ifodalab, ni hosil qilamiz. Demak,

Bu qator ishoralari almashinuvchidir, uning hadlari absolyut qiymati bо‘yicha kamayadi va umumiy hadi nolga intiladi. Shuning uchun qatorning qoldig‘i birinchi tashlab yuborilgan haddan katta bо‘lmaydi. >0,0001 va <0,0001 bо‘lgani uchun 0,0001 gacha aniqlik bilan
ni hosil qilamiz.
3,14159 deb, sin 18⁰0,3090 ga ega bо‘lamiz.


XULOSA
Mamlakatimizda chuqur o‘zgarishlar, siyosiy va ijtimoiy–iqtisodiy hayotning barcha tomonlarini izchil isloh etish va liberallashtirish, jamiyatimizni demokratik yangilash va modernizasiya qilish jarayonlari jadal sur’atlar bilan rivojlanib bormoqda. Bunda kuchli fuqarolik jamiyatini shakllantirish yo‘lida belgilab olingan va izchil ravishda amalga oshirilayotgan ulkan vazifalar mustahkam zamin yaratmoqda.
Oxirgi yillarda ta’lim-tarbiya sohasida amalga oshirilayotgan, ko‘lami va mohiyatiga ko‘ra ulkan ishlarimiz biz ko‘zlagan ezgu niyatlarimizga erishish, hech kimdan kam bo‘lmaydigan hayot barpo etish, yoshlarimiz, butun xalqimizning ma’naviy yuksalishi yo‘lida mustahkam zamin yaratadi, desak, hech qanday xato bo‘lmaydi Kurs ishi kirish, ikkita bob, xulosa va foydalanilgan adabiyotlardan iborat. Kirish qismida yurtimizda ta’lim sohasida olib borilayotgan islohotlar, ularning samarali natijasi va mavzu bo’yicha boshlang’ich ma’lumotlar berildi. Birinchi bob birinchi paragrafda darajali qatorlar va funksiyani koʼphad bilan almashtirish to’g’risida tushuncha, ikkinchi paragrafda darajali qator va uning yaqinlashish intervali tushunchalari,uchinchi paragrafda darajali qatorning xossalari.Ikkinchi bobda funksiyani darajali qatorlarga yoyish tushunchalari, masalalarini hisoblash tushunchalari keltirilgan. Har bir paragraf misolar bilan mustaxkamlangan.Kurs ishida o’rganilgan natijalar nazariy va amaliy ahamiyatga ega bo’lib, ulardan matematik analizda qator yaqinlashishi yoki uzoqlashishi haqidagi masalalar yechishda foydalanish mumkin.Xulosa qilib aytadigan bo’lsam, mamlakatimiz taraqqiyotida ta’lim tizimining shu o’rinda matematika darslarining o’rni beqiyos. Ta’limning qay darajada rivojlanishi esa biz barkamol avlodga bog’liq.