Классификация случайных событий. Классическое определе­

Определение. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами npq, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m,... ,n с вероятностями
,
где 0<рКак видим, вероятности Р(Х=m) находятся по формуле Бернулли, следовательно, биномиальный закон распределения представляет собой закон распределения числа Х=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью р.
Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

Очевидно, что определение биномиального закона корректно, т.к. основное свойство ряда распределения выполнено, ибо есть не что иное, как сумма всех членов разложения бинома Ньютона:
Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биноминальному закону,
а ее дисперсия
Определение. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром λ > 0, если она принимает значения 0, 1, 2,..., m, ... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями ,
Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

Очевидно, что определение закона Пуассона корректно, так как основное свойство ряда распределения выполнено, ибо сумма ряда .
На рис. 4.1 показан многоугольник (полигон) распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона Р(Х=m)=Р_m(λ) с параметрами λ = 0,5, λ = 1, λ = 2, λ = 3,5.
Теорема. Математическое oжидaниe и дисперсия случайной величины, распределенной по закону Пуассона, совпадают и равны параметру λ этого закона, т.е.
и

10. 
    Математическое ожидание и дисперсия числа и частости на­ступлений события в п повторных независимых испытаниях (с выводом).
    

Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может наступить с одной и той же вероятностью р, равно р, т.е. а ее дисперсия .

□ Частость события есть , т.е. , где Х - случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому

. ■

10. 
    Определение нормального закона распределения. Теоретико-вероятностный смысл его параметров. Нормальная кривая и зависимость ее положения и формы от параметров.
    

Определение. Непрерывная случайная величина Х имеет нормальный закон распределения (закон Гаусса) с параметрами а и , если ее плотность вероятности имеет вид:

Термин «нормальный» не совсем удачный. Многие признаки подчиняются нормальному закону, например, рост человека, дальность полета снаряда и т.п. Но если какой-либо признак подчиняется другому, отличному от нормального, закону распределения, то это вовсе не говорит о «ненормальности» явления, связанного с этим признаком.
Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой. На рис. 4.5 а, б приведены нормальная кривая с параметрами а и , т.е. , и график функции распределения случайной величины Х, имеющей нормальный закон.
Обратим внимание на то, что нормальная кривая симметрична относительно прямой х=а, имеет максимум в точке х=а, равный , т.е. , и две точки перегиба с ординатой .
Можно заметить, что в выражении плотности нормального закона параметры обозначены буквами а и , которыми мы обозначаем математическое ожидание М(Х) и дисперсию D(Х). Такое совпадение неслучайно. Рассмотрим теорему, устанавливающую теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона.
Теорема. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, т.е. , а ее дисперсия - параметру , т.е. .
□ Математическое ожидание случайной величины Х:
. Произведем замену переменной, положив . Тогда и , пределы интегрирования не меняются и, следовательно, .
(первый интеграл равен нулю как интеграл от нечетной функции по симметричному относительно начала координат промежутку, а второй интеграл - интеграл Эйлера­Пуассона).
Дисперсия случайной величины Х:
.
Сделаем ту же замену переменной , как и при вычислении предыдущего интеграла. Тогда
.
Применяя метод интегрирования по частям, получим:
.■
Выясним, как будет меняться нормальная кривая при изменении параметров а и (или ). Если , и меняется параметр а ( ), т.е. центр симметрии распределения, то нормальная кривая будет смещаться вдоль оси абсцисс, не меняя формы (рис. 4.6).
Е сли a=const и меняется параметр (или ), то меняется ордината максимума кривой . При увеличении ордината максимума кривой уменьшается, но так как площадь под любой кривой распределения должна оставаться равной единице, то кривая становится более плоской, растягиваясь вдоль оси абсцисс; при уменьшении а, напротив, нормальная кривая вытягивается вверх, одновременно сжимаясь с боков. На рис. 4.7 показаны нормальные кривые с параметрами , где . Т.о., параметр а (он же математическое ожидание) характеризует положение Центра, а параметр (он же дисперсия) - форму нормальной кривой.
Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а=0, =1, т.е. N(0;l), называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая - стандартной или нормированной.

10. 
    Функция распределения нормально распределенной случай­ной величины и ее выражение через функцию Лапласа.
    

Сложность непосредственного нахождения функции распределения случайной величины, распределенной по нормальному закону, и вероятности ее попадания на некоторый промежуток связана с тем, что интеграл является «неберущимся». В элементарных функциях. Поэтому их выражают через функцию:
.
- функцию (интеграл вероятностей) Лапласа, для которой составлены таблицы. Геометрически функция Лапласа представляет собой площадь под стандартной нормальной кривой на отрезке [-х; х] (рис. 4.8).

Теорема. Функция распределения случайной величины Х, распределенной по нормальному закону, выражается через функцию Лапласа Ф(х) по формуле:
.
□ По формуле функция распределения: .
Сделаем замену переменной, полагая , , при , , поэтому
.
Первый интеграл
.
(В силу четности подынтегральной функции и того, что интеграл Эйлера-Пуассона равен ).
Второй интеграл с учетом составляет .
Итак, . ■

10. 
    Формулы для определения вероятности: а) попадания нормально распределенной случайной величины в заданный интер­вал; б) ее отклонения от математического ожидания. Правило «трехсигм».
    

Свойства случайной величины, распределенной по нормальному закону: