Классификация случайных событий. Классическое определе­

Доказательство. С учетом того, что мат ожид М(Х) и квадрат мат-го ожид М2(Х) – величины постоянные, можно записать: 


В качестве характеристики рассеяния нельзя брать математическое ожидание отклонения случайной величины от ее математического ожидания , ибо согласно свойству 6 математического ожидания эта величина равна нулю для любой случайной величины.
Выбор дисперсии, определяемой по формуле, в качестве характеристики рассеяния значений случайной величины Х оправдывается также тем, что, как можно показать, математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины Х от постоянной величины С минимально именно тогда, когда эта постоянная С равна математическому ожиданию , т.е. .
Если случайная величина Х - дискретная с конечным числом значений, то (3.11).
Если случайная величина Х - дискретная с бесконечным, но счетным множеством значений, то (если ряд в правой части равенства сходится).
Дисперсия D(Х) имеет размерность квадрата случайной величины, что не всегда удобно. Поэтому в качестве показателя рассеяния используют также величину .

Определение. Средним квадратическим отклонением (стандартным отклонением или стандартом) случайной величины Х называется арифметическое значение корня квадратного из ее дисперсии:

Свойства дисперсии случайной величины.

1. 
   Дисперсия постоянной величины равна нулю: .
   

□ . ■
2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возведя его при этом в квадрат: .
□ Учитывая свойство 2 математического ожидания, получим . ■
3. Дисперсия случайной величины равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом ее математического ожидания: (3.16) или где .
□ Пусть М(Х) = а. Тогда D(Х) = М(Х - а)² = М(Х² - 2аХ + а²). Учитывая, что а - величина постоянная, неслучайная, найдем
D(Х) = М(Х)² - 2аМ(Х) + а² = М(Х²) - 2а·а + а² = M(X²) - a².
Это свойство часто используют при вычислении дисперсии. Вычисление по формуле (3.16) дает, например, упрощение расчетов по сравнению с основной формулой (3.11), если значения xi случайной величины - целые, а математическое ожидание, а значит, и разности (xi - а) - нецелые числа.
4. Дисперсия алгебраической суммы конечного числа независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: .
□ По свойству 3: . Обозначая , и учитывая, что для независимых случайных величин М(ХУ)=М(Х)М(У), получим
.■
Обращаем внимание на то, что дисперсия как суммы, так и разности независимых случайных величин Х и У равна сумме их дисперсий, т.е. .
Если использовать механическую интерпретацию распределения случайной величины, то ее дисперсия представляет собой момент инерции распределения масс относительно центра масс (математического ожидания).
3амечание. Обратим внимание на интерпретацию математического ожидания и дисперсии в финансовом анализе. Пусть, например, известно распределение доходности Х некоторого актива (например, акции), т.е. известны значения доходности xi и соответствующие их вероятности pi за рассматриваемый промежуток времени. Тогда, очевидно, математическое ожидание М(Х) выражает среднюю (прогнозную) доходность актива, а дисперсия D(X) или среднее квадратическое отклонение - меру отклонения, колеблемости доходности от ожидаемого среднего значения, т.е. риск данного актива.
Математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и другие числа, призванные в сжатой форме выразить наиболее существенные черты распределения, называются числовыми характеристиками случайной величины.
Обращаем внимание на то, что сама величина Х - случайная, а ее числовые характеристики являются величинами неслучайными, постоянными.

10. 
    Функция распределения случайной величины, ее определе­ние, свойства и график.
    

Определение. Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(х), выражающая для каждого х вероятность того, что случайная величина Х примет значение, меньшее х: .

Функцию F(x) иногда называют интегральной функцией распределения или интегральным законом распределения.
Геометрически функция распределения интерпретируется как вероятность того, что случайная точка Х попадет левее за данной точки х.
Функция распределения любой дискретной случайной величины есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков функции F(х) равна 1.
Общие свойства функции распределения.