Kompleks son tushunchasi

Kompleks sonning ko’rinishlari.

1. Algebraik ko’rinishi.
(0,1) juftlikni olib, uni i bilan belgilaymiz va bu belgini mavhum birlik deb ataymiz.
i  i = i² = - 1 bo’ladi. Haqiqatan ham
i²= (0,1) (0,1) = (0,-1)=-1
i belgisi yordamida z=(x,y) kompleks sonni algebraik shaklda z = x + i y (1)
ko’rinishda yozish mumkin. Chunki
z=(x,y)=(x,0)+(0,y)=(x,0)+(0,1)(y,0)=x+iy
z=x+iy bo’lsa, x – z kompleks sonning haqiqiy qismi deyiladi va xqRe z kabi belgilanadi. y – z kompleks soninig mavhum qismi deyiladi va uqIm z kabi belgilanadi. Z=x+iy kompleks son berilgan bo’lsa, x-iy kompleks son uni qo’shmasi deyiladi va orqali belgilanadi:

Quyidagi tengliklar o’rinlidir:

1. 
   
   
2. 
   
   
3. 
   
   
4. 
   
   
5. 
   
   

Eslatma: n ta z₁, z₂, . . . ,z_n kompleks sonlarning yig’indisi hamda ko’paytmasi yuqoridagidek kirtiladi va ular uchun mos xossalar hamda tengliklar o’rinli bo’ladi. Jumladan,


bo’ladi.
Trigonometrik ko’rinishi.
Ixtiyoriy
z = x + i y (1)
kompleks sonni olaylik. Tekislikda, koordinatalari x va y bo’lgan M(x,y) nuqtani qaraymiz.

Ma’lumki, shu M nuqtaning radius-vektori deyiladi. Bu radius-vektorning uzunligi r, uning Ox o’qi bilan tashkil etgan burchagi bo’lsin.

Chizmada tasvirlangan OMB to’g’ri burchakli uchburchakdan quyidagilarni topamiz:

Unda (1) ko’rinishdagi kompleks son quyidagicha
(2)
ifodalanadi.
Odatda kompleks sonning bu ifodasi uning trigonometrik ko’rinishi deyiladi. Bunda r musbat son z kompleks sonning moduli deb ataladi va |z| kabi belgilanadi: r=|z|. burchak esa z kompleks sonning argumenti deb ataladi va argz kabi belgilanadi: =argz. Yana OMB dan, Pifagor teoremasiga ko’ra
(3)
hamda
, ya’ni (4)
bo’lishini topamiz.
Demak, z = x + iy kompleks sonning moduli (3) formula, argumenti esa (4) formula yordamida topiladi.