Kompleks sonlar ketma-ketligi va uning limiti

Misol. funksiya yordami bilan tekislikdagi to‘g‘ri chiziqning tekislikdagi aksi topilsin.

Yechish. Bunda bo‘lsa, akslanish 6- chizmada tasvirlangan.



4-chizma
Biror kompleks sohada funksiya berilgan bo‘lib, bo‘lsin.


Ta`rif. Oldindan berilgan har qanday kichik son uchun, shunday musbat sonni topish mumkin bo‘lsaki, bunda bo‘lganda, tengsizlik bajarilsa, funksiya o‘zgarmas ga intiladi deyiladi va (10) ko‘rinishida yoziladi.
Xususan, agar bo‘lsa, bo‘lganda tegsizlik bajarilsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi: (11)


Bu geometirik jihatdan funksiya uzluksiz bo‘lsa, z tekislikdagi markazi nuqtada radiusi ga teng bo‘lgan doira nuqtalari, tekislikdagi markazi nuqtada, radiusi ga teng doira nuqtalarga o‘tishini ko‘rsatadi (3-chizma).


5-chizma
Ta`rif. E sohaning har bir nuqtasida uzliksiz bo‘lgan funksiya sohada uzluksiz deyiladi.
Kompleks o‘zgaruvchili funksiyaning limiti va uzluksizligi ta`riflari haqiqiy o‘zgaruvchining limiti va uzluksizligi ta`rifiga o‘xshash bo‘lgani uchun uzluksiz funksiyaning xossalari, ular bilan bajariladigan amallar, ular haqidagi teoremalar va ularning isboti ham haqiqiy o‘zgaruvchilar isboti kabi bo‘ladi.
Uzluksizlikni quyidagicha ham ta`riflash mumkin:
, , , , , bo‘lsa, va funksiya ortirmasi bo‘ladi.


Ta`rif. Agar haqiqiy kichik musbat uchun shunday son topish mumkin bo‘lsaki, bo‘lganda tengsizlik o‘rinli bo‘lsa, funksiya nuqtada uzluksiz deyiladi va quyidagicha yoziladi: (12)

Misol. funksiya ixtiyoriy nuqtada uzluksizligini tekshiring

Yechish. ,
Demak, funksiya barcha nuqtalarda uzluksiz.

4. Asosiy elementar funksiyalar
1. Darajali funksiya: .
a) n-natural son bo‘lsa, ;
b) - kasr son bo‘lsa, ,
2. Ko‘rsatkichli funksiya:
Biz bo‘lgan holda ko‘proq misollarni yechish usullarini ko‘rsatamiz.
, ya`ni funksiya sof mavhum davrli. Bu haqiqiy sonlar nazariyasidagi ko‘rsatkichli funksiyadan farqli ekanligini bildiradi.
3. Logarifmik funksiya: (13)

Ta`rif. Logarifmik funksiya deb, ko‘rsatkichli funksiyaga teskari bo‘lgan (13) ko‘rinishidagi funksiyaga aytiladi.
Agar, bo‘lsa, bo‘ladi.
(14). Bunda ga logarifmik funksiyaning bosh qismi deyiladi.
Bulardan ko‘rinadiki, kompleks o‘zgaruvchining logarfmik funksiyasi ko‘p qiymatli ekan. Kompleks o‘zgaruvchining logarifmik funksiyasi ham, haqiqiy o‘zgaruvchining logarfmik funksiyasining ko‘pgina xossalariga bo‘ysinadi.
;

4.