Комплекс сонлар. Комплекс сонларнинг тенглиги. Комплекс сонлар устида амаллар

5–. Комплекс сонларнинг тригонометрик шакли.

Комплекс текисликда қутб координат системасини киритамиз. Қутб сифатида нуқта ва ўқи сифатида ҳақиқий мусбат ярим ўқни (абсциссалар ўқининг мусбат ярим ўқини) оламиз (3–чизма).

Текисликдаги нуқтанинг қутб координаталари қуйидагича аниқланади: нуқтадан координаталар бошигача бўлган масофа ва қутб ярим ўқи билан кесма орасидаги бурчак билан нуқтанинг текисликдаги ўрни тўла аниқланади.
r– қутб радиуси ва – қутб бурчаги дейилади.

3чизма
r масофа бўлгани учун у доим манфий бўлмаган ҳақиқий сонга ва фақат бўлгандагина нолга тенгдир. бурчак бўлгани учун унинг қийматлари тенгсизликни қаноатлантириши керак.
Аммо шундай масалалар учрайдики, уларда ихтиёрий ҳақиқий қийматли (яъни қийматлари оралиқдан ташқарида ётган) бурчаклар билан иш кўришга тўғри келади. Келишувга мувофиқ мусбат бурчаклар соат мили юришига қарши йўналишда ва манфий бурчаклар соат мили юриши йўналиши бўйича ҳисобланади. Қутб координаталари ва бўлган жуфтлар ҳар қандай бутун сон учун текисликда битта нуқтага мос келади.
3–чизмадаги тўғри бурчакли учбурчакдан нуқтанинг Декарт координаталари билан , қутб координаталари
,
тенгликлар билан боғланганлиги олинади.
Агар нуқта берилган бўлса, у ҳолда унинг қутб радиуси

тенглик орқали топилади. ҳолда унинг қутб бурчаги га ёки га каррали бўлган сон аниқлигида
,
тенгликлардан топилади. ҳолда унинг қутб бурчаги ихтиёрий ҳақиқий сон. комплекс соннинг қутб радиуси унинг модули дейилади ва орқали белгиланади.
Ушбу ифодадан ва , белгилардан бевосита , тенгсизликлар келиб чиқади.
функция нинг бир қийматли функциясидир. комплекс соннинг қутб бурчаги унинг аргументи дейилади ва орқали белгиланади. Агар сон комплекс соннинг қутб бурчаги бўлса, ҳар қандай бутун сон учун ҳам нинг қутб бурчаги бўлгани сабабли функция нинг кўп қийматли функциясидир. Демак, берилган учун битта сон эмас, балки кўринишдаги барча сонлар тизими (бу ерда ихтиёрий бутун сон).
Ушбу ифода одатда комплекс соннинг алгебраик ифодаси дейилади. Бу ифодадан ва , тенгликлардан фойдаланиб, ифодани оламиз. Бу комплекс соннинг тригонометрик ифодаси дейилади. Комплекс соннинг тригонометрик ифодаси қуйидаги маънода ягона.
1–теорема. Агар комплекс соннинг иккита ва тригонометрик ифодалари берилган бўлса, у ҳолда ва шундай бутун сон мавжудки, . Бошқачароқ айтсак,
бўлса, у ҳолда , бўлади.
Исбот. Ҳақиқатан, бу ҳолда , . Булардан
.
У ҳолда бўлгани учун
, .
Бу тенгликлардан ва бурчакларнинг бир–биридан ( – бутун сон) га фарқ қилиши келиб чиқади. Теорема исбот бўлди.

2– теорема. Ҳар қандай учун

,

ўринли бўлади.
Исбот. Ҳақиқатан

.
Бундан

.
Бу тенгсизликлардан эса келиб чиқади. Бунга кўра
.
Бундан келиб чиқади. Теорема исбот бўлди.

1–мисол. комплекс сонни тригонометрик шаклда ёзинг.

Ечиш. ;
, ,
бундан , у ҳолда .
Одатда, аргумент нинг билан орасидаги қийматини олиш билан чекланилади. У ҳолда бўлиб, охирги тенгликни бундай ёза оламиз:
.
2–мисол. сонни тригонометрик шаклда ифодаланг.
Ечиш. да
, , .
Ҳар икки тенгликни қаноатлантиради. У ҳолда
.
3–мисол. комплекс сонни тригонометрик шаклда ифода қилинг.
Ечиш. Бу ерда комплекс соннинг ҳақиқий қисми , мавҳум қисмининг коэффициенти бўлгани сабабли
.
,
.

Демак, га тенг, у ҳолда

.