Комплекс сонлар. Комплекс сонларнинг тенглиги. Комплекс сонлар устида амаллар

6–. Тригонометрик шаклда берилган комплекс сонларни кўпайтириш, бўлиш ва даражага кўтариш.

Комплекс сонлар устида қўшиш ва айириш амалларини бажаришда уларнинг алгебраик ифодаси билан иш кўриш қулай. Комплекс сонларнинг тригонометрик ифодаси эса комплекс сонларни кўпайтиришда, бўлишда ва даражага кўтаришда қўл келади.

1–теорема. Икки комплекс соннинг кўпайтмасининг модули улар модулларининг кўпайтмасига, аргументи эса улар аргументлари йиғиндисига тенг, яъни

.

Исбот. , бўлсин, у ҳолда

.

Мисоллар.

1)
.
2)
.

1–натижа. та комплекс соннинг кўпайтмаси модули берилган та комплекс сон модулларининг кўпайтмасига, аргументи эса аргументлари йиғиндисига тенг бўлган комплекс сондир, яъни

.

2–теорема. Бир комплекс сонни нолга тенг бўлмаган иккинчи комплекс сонга нисбати, модули бўлинувчи ва бўлувчи комплекс сонлар модуллари нисбатига, аргументи эса шу сонларнинг аргументлари айирмасига тенг бўлган комплекс сондир, яъни

.

Исбот. , , бўлсин, у ҳолда

.


Мисоллар.
1)
.
2)
.

2–натижа. Комплекс сонни даражага кўтариш учун унинг модулини шу даражага кўтариш, аргументи эса даража кўрсаткичи марта орттириш кифоя, яъни

.
Бу тенглик Муавр формуласи деб аталади. Бунинг чап томонидаги қавсларни Ньютон биноми бўйича очиб, сўнгра тенгликнинг икки томонидаги ҳақиқий қисмларини ўзаро ҳамда мавҳум қисмларини ўзаро тенглаштириш натижасида тригонометрияга доир турли формулаларни келтириб чиқариш мумкин. Мисол учун бўлсин, у ҳолда
,
бу ердан
ва
келиб чиқади.
Агар алгебраик шаклда берилган комплекс сонни даражага кўтариш талаб қилинса, дастлаб уни тригонометрик шаклга келтириб олиш мақсадга мувофиқдир.
Мисол. Амални бажаринг:
.
Ечиш. комплекс сонни тригонометрик шаклда тасвирлаймиз:
, .
Бундан .
Демак, , у ҳолда

7–. Комплекс сонларнинг илдизлари.

ва – натурал сон бўлсин ( ). Ушбу тенгликни қаноатлантирувчи комплекс сон нинг –даражали илдизи дейилади. Бу таърифни бошқачароқ айтсак, берилган комплекс соннинг –даражали илдизи деб, –даражаси берилган комплекс сонга тенг бўлган ҳар қандай комплекс сонга айтилади.

Теорема. Ҳар қандай комплекс сон нақ та турли –даражали илдизга эга. Агар бўлса, у ҳолда улар қуйидаги кўринишда ифодаланади:
, .
Исбот. бўлиб, – унинг тригонометрик ифодаси бўлсин. Муавр формуласига асосан
.
Комплекс сонлар тенг бўлса, уларнинг модуллари тенг, яъни , ва аргументлари тенг ёки га каррали бурчакка фарқ қилгани учун , ёки ва , бу ерда – ихтиёрий бутун сон.
Демак, нинг ҳар бир –даражали илдизи ушбу

кўринишда ёзилиши мумкин. Аксинча, бундай кўринишга эга бўлган ҳар қандай комплекс сон нинг –даражали илдизидир.
Энди ва лар қачон ўзаро тенглигини аниқлаймиз. дан айирманинг кўринишга эга эканлиги келиб чиқади. Бундан , яъни ва сонлари га бўлинганда бир хил қолдиққа эга эканлиги келиб чиқади. Бундан, биринчидан, нинг қолдиқлари фақат бўлиши мумкинлигидан ушбу сонларнинг турли эканлиги келиб чиқади. Иккинчидан, ҳар қандай учун ни га бўлганда қолдиқ га тенг бўлса , у ҳолда , яъни ҳар қандай сон сонларнинг бирортасига тенглиги келиб чиқади.
Мисол кўрайлик. тенгламанинг ҳақиқий илдизлари мавжуд эмас, аммо 4та комплекс илдизга эга – улар соннинг 4–даражали илдизлари. Ушбу ифодага кўра илдизлар қуйидаги кўринишга эга:
;
;
;
.

Бошқа мисол. Бир соннинг –даражали илдизлари устида тухталамиз.

ифодага кўра нинг –даражали илдизлари қуйидаги формула бўйича топилади:
, , яъни

Мисол. ни ҳисобланг.

Ечиш. ;
.
Бу тенгликка нинг қийматларини қуйиб қуйидагига эга бўламиз.