Комплекс сонлар. Комплекс сонларнинг тенглиги. Комплекс сонлар устида амаллар

2–. Комплекс сонлар устида амаллар.


1–Таъриф. ва комплекс сонларнинг йиғиндиси деб комплекс сонига айтилади, яъни
.
Демак, иккита комплекс сонни қўшиш учун ҳақиқий қисми ҳақиқий қисмига, мавҳум қисми мавҳум қисмига қўшилар экан.
Масалан, .
2–таъриф. Қарама–қарши комплекс сонларнинг йиғиндиси нолга тенг:

3–таъриф. Икки комплекс соннинг айирмаси шундай комплекс сонга тенгки, унинг айрилувчи билан йиғиндиси камаювчига тенг бўлади, яъни бўлсагина бўлади.
Икки комплекс сонни биридан иккинчисини айириш учун ҳақиқий қисмидан ҳақиқий қисмини, мавҳум қисмидан мавҳум қисмини айириш керак, яъни
.
Мисол. .
4–таъриф. ва комплекс сонларнинг кўпайтмаси деб комплекс сонига айтилади, яъни
.
Мисоллар. 1) .
2) .
3) .
Таърифга кўра: , . нинг каттароқ кўрсаткичли даражаларини қуйидагича топамиз:
, , , , ...
Бундан кўринадики, , , , .
Масалан, 1) .
2)
5–таъриф. Бир комплекс соннинг иккинчи комплекс сонга бўлинмаси (нисбати) деб, бўлувчи билан кўпайтмаси бўлинувчига тенг бўлган учинчи комплекс сонга айтилади, яъни агар бўлса, бўлади.
1–теорема. Агар бўлса, ҳар қандай ва комплекс сонлар учун мавжуд ва ягона.

Масалан, бўлинмани топиш керак бўлсин.

Ечишилиши. Таърифга кўра бўлсин, у ҳолда бўлиши керак. бўлгани учун:

комплекс сонларнинг тенглиги таърифидан системани ечсак,
, .
Демак, .

2–теорема. Ўзаро қўшма комплекс сонларнинг кўпайтмаси ҳақиқий сонга тенг.

Исботи. ва қўшма комплекс сонларни кўпайтирайлик.

ҳақиқий сон ҳосил бўлади.

Исбот қилинган бу теоремадан комплекс сонни комплекс сонга бўлишда фойдаланиш анча қулайлик тўғдиради. Чунончи ( ) нисбатни топиш учун касрнинг сурат ва махражини, махраждаги комплекс соннинг қўшмасига кўпайтириш керак, яъни

.

Мисол. бўлинмани топинг.

Ечиш. .