Kompleks sonlar

i
b
a
b
a
b
a
b
a
b
b
a
a








2
2
2
2
2
1
1
2
2
2
2
2
2
1
2
1
2
1



 
Misol:
i
i
i
i
i
i
i
i
5
4
5
7
5
4
7
)
2
)(
2
(
)
2
)(
3
2
(
2
3
2











O’rin almashtirish, gruppalash qonuni kompleks sonlarda ham to’g’ri: 
(a+bi) + (c+di) = (c+di) + (a+bi) 
(a+bi) · (c+di) = (c+di) · (a+bi) 
(a+bi) + (c+di) + (e+fi) = (a+bi) + [(c+di) + (e+fi)] 
Har qanday kompleks son a+bi ni Oxy tekislikda koordinatalari a va b bo’lgan 
z(a;b) nuqta shaklida tasvirlash mumkin va, aksincha, Oxy tekislikdagi har qanday 
z(a;b) nuqtani a+bi kompleks sonning geometrik obrazi deb qarash mumkin. 
Kompleks sonlarni tekislikda tasvirlaganda Oy o’q mavhum, Ox o’q esa haqiqiy 
o’q deb olinadi. Koordinatalar boshini qutb, Ox o’qining musbat yo’nalishini qutb 
o’qi deb olib, z(a;b) nuqtaning qutb koordinatalarini φ va r (r≥0) bilan belgilaymiz, 
u holda
a+bi= r(Cos φ + iSin φ) 
formulaga ega bo’lamiz, bunda
2
2
b
a
r


, 
a
b
arctg


bo’lib, r ga a+bi kompleks sonning 
moduli, φ ga esa kompleks sonning argumenti 
deyiladi,

---

r(Cos φ + iSin φ) ga a+bi sonning trigonometrik shakli deyiladi. Burchak 










2
2
2
2
,
b
a
a
Cos
b
a
b
Sin



shartlardan topiladi. Odatda burchak φ ning 
[-2π;0] yoki [0; 2π] dagi qiymati olinadi.
Misol: Algebraik ko’rinishdagi kompleks sonni trigonometrik ko’rinishga 
o’tkazish. α=1+i r=|1+i|=
2
,
2
1


Sin
,
2
1


Cos
, demak, 
4



;
α=1+i= 
)
4
4
(
2


iSin
Cos

 
Trigonometrik ko’rinishda berilgan ikki kompleks 
son ko’paytmasi shunday kompleks sonki, uning 
moduli 
ko’paytiruvchilar 
modullarining 
ko’paymasiga, argumenti esa ko’paytiruvchilar 
argumentlarining yig’indisiga teng, ya’ni 
r
1
(Cosφ
1
+ iSinφ
1
) · r
2
(Cosφ
2
+ iSinφ
2
)= 
= r
2
· r
2
(Cos(φ
1+
φ
2
) + iSin(φ
1+
φ
2
)) 
Misol: 2(Cos20
0
+ iSin20
0
) · 7(Cos100
0
+ iSin100
0
)= 
= 14(Cos120
0
+ iSin120
0
)= 
i
3
7
7 

24
)
(
24
)
8
7
8
7
(
6
)
8
8
(
4













iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
Trigonometrik 
ko’rinishda 
berilgan 
ikki 
kompleks son bo’linmasining moduli bo’linuvchi va 
bo’luvchi modullarining bo’linmasiga teng bo’lib, 
bo’linmaning argumenti bo’linuvchi va bo’luvchi 
argumentlarining ayirmasiga teng, ya’ni 

---

))
(
)
(
(
)
(
)
(
2
1
2
1
2
1
2
2
2
1
1
1














iSin
Cos
r
r
iSin
Cos
r
iSin
Cos
r
Misol:
i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos
5
3
5
1
)
60
60
(
5
2
)
47
47
(
5
)
107
107
(
2












i
iSin
Cos
iSin
Cos
iSin
Cos





)
90
90
(
40
40
130
130






Kompleks sonning trigonometrik ko’rinishini n-chi darajaga oshirish uchun 
moduli n-chi darajaga oshiriladi, argumentiga n soni ko’paytiriladi. Agar n natural 
son bo’lib, α=r(Cosφ+iSinφ) trigonometric ko’rinishdagi son bo’lsa, u holda
α
n
=r
n
(Cosnφ+iSinnφ) 
o’rinli bo’ladi. Bu formulaga Muavr formulasi deyiladi. 
Misol:


100
)
2
1
2
3
(
i
(Cos30
0
-iSin30
0
)
100
=(Cos(-30
0
)+iSin(-30
0
))
100
= 
= Cos(-3000
0
)+iSin(-3000
0
)= Cos120
0
– iSin120
0
= 
2
3
2
1
i


Kompleks sonni n-chi ildizdan chiqarish uchun moduli n-chi darajali ildizdan 
chiqariladi, argumenti esa n soniga bo’linadi. 
n
iSin
Cos
r
)
(



ildiz quyidagi formula bilan topiladi: 
)
2
2
(
)
(






k
iSin
n
k
Cos
r
iSin
Cos
r
n
n





, 
bunda n – natural son, k=0, 1, 2,3……n-1. 
Misol: W= 
;
3
2
4
3
3
2
4
3
2
1
3
3


















k
iSin
k
Cos
i





---

1. k=0
i
iSin
Cos
W
3
3
6
0
2
1
2
1
)
4
4
(
2






2. k=1
i
iSin
Cos
W
3
,
0
08
,
1
)
12
11
12
11
(
2
6
1







3. k=2
)
12
19
12
19
(
2
6
2


iSin
Cos
W


§1.2. Tayanch kompetenciyalar 
Mamlakatimiz rivojlanishining hozirgi davrida jahon ta’lim yo`nalishlari 
bo`yicha ta’limning yangi ustuvor yo`nalishlari belgilandi. 2017-2021-yillarga 
mo`ljallangan 
O`zbekistonni 
rivojlantirishning 
Harakatlar 
strategiyasida 
o`quvchilarning funktsional savodxonligini rivojlantirish milliy tadbirlar rejasiga 
kiritilgan. Maktab ta’lim sifatini yaxshilashning asosiy yo`naltiruvchi nuqtasi 
sifatida maktab o`quvchilari funktsional savodxonligini rivojlantirish ularning 
jamiyatda faol ishlash, o`z taqdirini o`zi belgilash, o`z-o`zini takomillashtirish 
hamda o`zini-o`zi ro`yobga chiqarish qobiliyatlarini talab qiladi. 
Yuqoridagi bandlarda keltirilgan xalqaro tadqiqotlar natijalari va 
tahlillaridan 
kelib 
chiqib, 
o`quvchilarning 
matematik 
savodxonligini 
rivojlantirish uchun ularning bilim va ko`nikmalariga quyidagi talablarni 
qo`yish mumkin: 
- matematikaga oid ta’riflar, formulalar va boshqa faktlarni o`quv va 
ma’lumotnomalardan qidirish va foydalanish; 
- turli hayotiy vaziyatlarda algebraga doir bilim, ko`nikma va grafik 
malakalarini qo`llash; 
- ma’lumotlarni to`plash, tahlil qilish, qayta ishlash, sintez qilish; 
- matematik 
formuladan 
foydalanish, 
muayyan 
xususiy 
hollarni 
umumlashtirish asosida miqdorlar orasidagi bog`liqlikni ifodalovchi 
formulalarini mustaqil ravishda tuzish; 

---

- o`zlashtirilgan algebraik almashtirishlarni va funktsional grafik tasvir va 
tasavvurlarni tevarak-atrofdagi yoki boshqa fanlardagi tegishli ob’ektlarni 
ifodalash va tahlil qilishda qo`llash; 
- o`z nuqtai nazarini asoslay olish, uning muhokamasida ishtirok etish va 
mantiqiy jihatdan to`g`ri xulosa chiqarish; 
- matematik matn bilan ishlash (tahlil qilish va kerakli ma’lumotlarni chiqarib 
olish), o`z fikrini matematik atamalar, timsollar va ramzlar yordamida aniq 
va to`g`ri yozish hamda og`zaki va yozma izhor qila olish; 
- amaliy xarakterdagi hayotiy masalalarni yechish, zarur hollarda ularni 
yechishda kerakli ma’lumotnomalar va hisoblash vositalarini qo`llay olish, 
jadvallar, diagrammalar, grafik ko`rinishdagi real raqamli ma’lumotlarni 
hamda statistik xarakterdagi ma’lumotlarni tahlil qilish; 
- amaliy xarakterdagi matematik muammolarini hal qilish vositasi sifatida 
zamonaviy axborot texnologiyalaridan foydalanish.