Ko‘p kriteriyali masalada yechim qabul qilish nazariyasi

2. Effektiv to‘plamlar usuli
fi(x) funksiyaning qiymatlar to'plami Yt bo'lsin, demak, u f r kriteriya bo'yicha baholarni bildiradi. Barcha f](x) kriteriyalar m bo‘yicha tartiblangan baholardan tashkil topgan Y = f ] Yi C 2=1 R m to !plam vektorli baholar to‘plami deb ataladi. U holda, Y ning ixtiyoriy y = (*/i, 2/2 , ym) elementi vektor ko‘rinishda bo'ladi, bunda yt G Y*.
Karlin teoremasi.
Faraz qilaylik, vektorli baholar to ‘plami Y q at’iy qabariq, chegaralangan va yopiq bo'lsin. x* G D yechim Pareto — optimal bo‘lishligi uchun,
m m > ^ 2 a ifi(x ), Vx G D i—1 i=1
tengsizlikni qanoatlantiruvchi ai > 0 . a -2 > 0 ,..., a rn > m 0 ) ]C 1 sonlarining mavjud bo'lishligi zarur va yetarli.
Vektorli baholar to'plamining chegaralanganligi va yopiqligi Pareto — optimal yechimni mavjud bo'lishligi uchun, talab etilgan. ai = 012 = ... — a m = 0 trivial holatdan qutilish uchun, m E OLi —1 shart qo'shilgan.
Isbot. Zarurligi. x* G Dp bo'lsin. U holda K(x*) konus bilan Y vektor baholi to'plam kesishmasi bitta f(x*) elementdan iborat bo'ladi (K(x*)\{f(x*)}) D Y = 0 (4.4-rasm). Qabariq to'plamlarning ajratish haqidagi teoremaga asosan R rn fazoda rn gipertekislik r = { / : &ifi = /?} mavjudki, u f(x*) nuqtadan o’tadi:
m £ < * /.( * * ) = /». (4-8> i—1
Y to'piam esa T gipertekislikning bir tarafida yotadi:
m 5 > . / , < £ , V / e y ; (4.9) i=1
K(x*) konus esa ikkinchi tarafida yotadi:
m > /3, V/c € K(x*). (4.10) 1
(4.8) va (4.9) lardan
m m ^ 2 a i f z(x*) > ^ a i i f i i x ) , Vf{x) £ Y i=l i= 1
ekanligi kelib chiqadi, ya’ni kriteriyalarning chiziqli kornbinam tsiyasi YI ®ifi(x) x* nuqtada maksimumga erishadi.
Endi oti,a2, koeffitsiyentlarning manfiy emasligini ko‘rsatamiz. (4.8) va (4.10) lardan
m 5 3 a i(fci - / i( i ‘) ) > 0 , V k £ K (x ‘) i=1
kelib chiqadi.
Har bir j indeks uchun, ki = M x*)> i ^ = fj{x*) + 6 , bu yerda 5 > 0 , belgilash kiritib, ctjd > 0 ga ega bo‘lamiz. j indeksning ixtiyoriy ekanligidan a* > 0 , % = 1 . 2 , ...,m hosil bo'ladi. Teoremaning zarurligi isbotlandi. (V 'tadi:
Yetarliligi. Faraz qilaylik, teoremaning sharti x* nuqtada manfiy bo'lmagan a x, a 2, ...,am sonlar uchun, bajarilsin. ammo x*(=.FP bo'lsin. Umumiylikka zarar keltirmagan holda = a i2 = ... = a ik = 0 , a ik+x > 0 , a .lk+2 > 0 , > 0 deb olamiz. x*e Fp bo‘lganligi sababli, x' yechim mavjudki, uning uchun, ji(x') > fi(x*) tengsizliklar barcha i ~ 1 , 2 . ...,ra larda o'rinli bo‘lib, ularning kamida bittasi q a t’iy bo'ladi. Ammo fi(x') - fi{x *) tenglik i = 4 +i, 4 +2 , lar uchun, bajariladi. chunki aks holda °tifi{x') > a ifi(x*) tengsizlik hosil bo'ladi. Bu esa teorema shartiga zid. Demak, fi(x') > fi(x*) tengsizlik faqat i = Z2 ,lar uchun, bajarilishi mumkin.
Qiymati f ( x f) va f(x*) larni birlashtiruvchi kesmada yotgan f(x) vektor funksiyani olamiz:
f{x) = /3f(x') +(1 - P)fix'), 0 < 0 < 1.
Bir tomondan a n = a n = ... = a lk = 0 bo'lganligi sababli, m m m aifiix) = ^ 2 Uifiix')-^ aiM x*) i= 1 «=1 i= l bo'ladi.
Ikkinchi tomondan, vektor baholar to'plam i q at’iy qabariqligidan, kelib chiqadiki, f(x) Y ning ichki qismiga tegishli bo'ladi. Ammo m a’lumki chiziqli funksiya qabariq to ‘plamning ichki nuqtasida maksimumga erishmaydi. Hosil bo‘lgan qarama-qarshilik teorema shartining yetarli ekanligini, shu bilan birga teoremani to‘la isbotlaydi.