Ko'pburchaklar

2- §. Muntazam ko'pburchaklar

Agar qavariq ko'pburchakning: a) barcha tomonlari; b) barcha ichki burchaklari o'zaro teng bo'lsa, u muntazam ko 'pburchak deyiladi.

Yuqorida ko'pburchak ichki burchaklarning yig'indisi 180° (n-2) ga teng ekanligini isbotladik. Unda muntazam ko'pburchakning ichki burchagi
ga teng bo'lishi kelib chiqadi, bunda n - ko'pburchak tomonlarining soni.
2- teorema. Muntazam n burchakka ichki aylana chizish mumkin va uning atrofida tashqi aylana chizish ham mumkin.
Isbot Bizga A₁A₂A₃…A_n muntazam ko'pburchak berilgan bo'lsin. Ko'pburchakning ikki qo'shni A₁ va A₂ uchlaridan ko'pburchak ichki burchaklarining bissektrisalarini o'tkazamiz (7- chizma). Ular О nuqtada kesishgan bo'lsin. Agar ko'pburchakning ichki burchagi ga teng bo'lsa, bo'ladi, bundan ΔOA₁A₂ ning teng yonli ekanligi kelib chiqadi va demak, OA₁ =OA₂. Endi 0 nuqtani A₃ uch bilan tutashtiramiz. Natijada hosil qilingan AOA₁A₂ va ΔOA₂A₃ ikkitadan tomonlari va ular orasidagi burchagi bo'yicha o'zaro teng bo'ladi: OA₂ - umumiy tomon, A₁A₂=A₂A₂ va A₁A₂O = OA₂A₃= . Bundan OA₃= OA₂ bo'lishi kelib chiqadi.

7- chizma
Demak, ΔOA₂A₃ teng yonli va A₁A₂O = OA₂A₃= , OA₃ ya'ni kesma z A₂ ichki burchakning bissektrisasidir. Keyingi ketma-ket OA₃A₄,OA₄A₅,...,OA_n-1A_n uchburchaklarning ham teng yonli bo'lishi yuqoridagiga o'xshash isbotlanadi va OA₁=OA₂=...=OA_n bo'lishi kelib chiqadi. Shunday qilib, ko'pburchaklarning A₁, A₂,...,A_n uchlari О nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan ekan, ya'ni 0 nuqtaA_lA₂...A_n ko'pburchakka tashqi chizilgan aylananing markazidan iborat.
Mоdоmiki , ΔOA₁A₂=ΔOA₂A₃=ΔOA_n-1A_n ekan, uchburchaklarning balandliklari ham o'zaro teng bo'ladi, demak, B_l,B₂,...,B_n nuqtalar 0 nuqtadan bir xil uzoqlikda joylashgan va 0 nuqta berilgan muntazam A_lA₂...A_n ko'pburchakka ichki chizilgan aylananing markazi bo'ladi