Ko'pburchaklar

3- §. Muntazam ko'pburchaklarning tomonini topish

Endi muntazam ko'pburchak tomonlari uzunliklarini unga tashqi va ichki chizilgan aylana radiuslari orqali ifodalash formulalarini keltirib chiqaramiz.

Faraz qilaylik, AB = a_n muntazam ko'pburchakning tomoni, R— unga tashqi chizilgan aylananing radiusi,/'— ko'pburchakka ichki chizilgan aylananing radiusi bo'lsin (8- chizma). OD LAB o'tkazamiz, u vaqtda OD = r bo'lib,OA = OB=R va AOB= - teng yonlidir, chunki OA = OB = R, .
To'g'ri burchakli ΔAOD dan va ifodani yozamiz. Modomiki, AB = 2AD ekan, muntazam ko'pburchak tomoni uzunligi uchun R va r radiuslar orqali ifodalangan
va
formulalarga ega bo'lamiz.
Xususiy holda ko'pburchakka tashqi chizilgan aylana radiusi orqali
a) muntazam uchburchak tomoni uchun

b) muntazam to'rtburchak tomoni uchun

d) muntazam oltiburchak tomoni uchun
formulalarni hosil qilamiz.
Shunga o'xshash, ko'pburchakka ichki chizilgan aylana radiusi r orqali muntazam uchburchakning tomoni formula bo'yicha, muntazam to'rtbur chakning tomoni
a₄ = 2r formula bo'yicha, muntazam oltiburchakning tomoni esa formula bo'yicha hisoblanishini olamiz.

8- chizma
Ko'pburchakning yuzi. O'xshash ko'pburchaklar
Qavariq ko'pburchakning yuzini, uni uchburchaklarga bo'lib hisoblash mumkin. Agar ko'pburchak muntazam n burchak bo'lsa, uning markazini uchlari bilan tutashtirib, n ta teng uchburchak olamiz. S₁ — bitta uchburchakning yuzi bo'lsa, ko'pburchakning yuzi
formula bo'yicha hisoblanadi.
Agar ikkita ko'pburchakning: 1) mos burchaklari teng; 2) o'xshash tomonlari proporsional bo'lsa, ular o'xshash deyiladi.
3- teorema. O'xshash ko'pburchaklarning perimetrlari ularning o'xshash tomonlari kabi nisbatda bo'ladi.
► Berilgan ABCDE va A₁B₁C₁D₁E₁ o'xshash ko'pburchaklarning ta'riflaridan (9- chizma):

Proporsiyalarning xossalaridan, bizga bir necha teng nisbatlar berilganda, barcha oldingi hadlar yig'indisining barcha keyingi hadlar yig'indisiga nisbati oldingi biror hadning o'ziga mos keyingi hadga nisbati kabi bo'ladi, ya'ni

yoki perimetrlar uchun, mos ravishda,
p = AB + BC+CD+DE+EA;
p₁ = A₁B₁+ B₁C₁+C₁D₁+D₁E₁+E₁A₁
hamda o'xshash tomonlar uchun, mos ravishda,
a , b,..., m;
a₁, b₁,...., m₁
belgilashlarni kiritib, talab qilingan

9- chizma 10- chizma

munosabatlarni hosil qilamiz ◄.
O'xshash ko'pburchaklarning o'xshash tomonlari nisbati bu ko'pburchak-larning о 'xshashlik koeffitsienti deyiladi va kabi belgilanadi, bunda a va a₁— o'xshash tomonlar, p va p₁— ko'pburchaklarning perimetrlaridir.
4- teorema. O'xshash ko'pburchaklarni bir xil sondagi o'xshash va bir xil joylashgan uchburchaklarga ajratish mumkin.
Isbot. Bizga ikkita o'xshash ABCDE va A₁B₁C₁D₁E₁ ko'pburchak berilgan bo'lsin. Ulardan birinchisi ABCDE ning ichida ixtiyoriy О nuqtani olib, uni ko'pburchakning A, B,C, D, E uchlari bilan tutashtiramiz. Buning natijasida ko'pburchak tomonlari soni qancha bolsa, shuncha uchburchakka ajraladi ( 10 - chizma).A₁ B_l C₁ D_l E₁ ko'pburchakning A_lE_l tomonida ikkita: О₁A₁E₁ = OAE va O₁E₁A= OEA burchaklarni yasaymiz. Ravshanki, . U holda yasashga ko'ra ΔAОЕ ΔA₁О₁E₁ Endi ΔABO va ΔA₁B₁O₁ ning o'xshashligini isbotlaymiz. Ko'pburchaklarning o'xshashligidan,
va (1)
bo'lishi kelib chiqadi. ΔAОЕ ΔA₁О₁Е₁ bo'lganligidan, OAЕ= O₁A₁Е₁ va
(2)
bo'ladi. (1) va (2) tenghklardan

11- chizma
va munosabatlarni hosil qilamiz .
Demak, ΔABO ΔA₁B₁O₁. Shunga o'xshash ΔCOD ΔC₁O₁D₁ va h.k. larni ham isbotlash mumkin. Bunda, ravshanki, o'xshash uchburchaklar bir xil joylashgan bo'ladi.
5- teorema . O'xshash ko'pburchaklarning yuzlari nisbati ularning o'xshash tomonlari kvadratlarining nisbati kabidir.
Isbot. ABCDE va A₁B₁C₁D₁E₁ ikkita o'xshash ko'pburchak bo'lsin (11 - chizma). Yuqorida isbotlangan teoremaga asosan ularni bir xil sondagi va bir xil joylashgan o'xshash uchburchaklarga ajratish mumkin.
Ko'pburchaklarni bo'lish natijasida hosil qilingan mos uchburchaklar juftlari ΔAOB va ΔA₁O₁B₁, ΔВОС va ΔB_lO₁C₁ va h.k.larni qarab,

deb yozish mumkin. Ko'pburchaklarning o'xshashligi ta'rifldan,

va shuning uchun

bundan

munosabatlarni olamiz. Teng nisbatlarning xossalaridan foydalansak,

deb yozish mumkin.
Natija. Bir xil nomdagi muntazam ko'pburchaklarning yuilari nisbati ularga tashqi chizilgan aylanalar radiuslari kvadratlari yoki ko'pburchaklar apofemalari kvadratlari nisbati kabi bo'ladi.