Kudaybergenov k. K. Funksional analizdan misol va masalalar

X normalangan fazoni Y normalangan fazoga akslantiruvchi barcha
chegaralangan chiziqli operatorlar to‘plamini B(X, Y ) kabi belgilaymiz.
Agar X = Y bo‘lsa, u holda B(X) kabi belgilanadi.
T, S ∈ B(X, Y ) operatorlar uchun ularning yig‘indisi T + S deb
(T + S)(x) = T (x) + S(x), x ∈ X
formula orqali aniqlangan operatorga aytiladi.
T ∈ B(X, Y ) operatori va λ ∈ C soni ko‘paytmasi λT deb
(λT )(x) = λT (x), x ∈ X
formula orqali aniqlangan operatorga aytiladi. Ravshanki, T + S, λT
operatorlar ham chiziqli operatorlar bo‘ladi.
Uzluksiz chiziqli operatorlarning yig‘indisi va uzluksiz chiziqli ope-
ratorning songa ko‘paytmasi, uzluksiz operator bo‘lishi normalangan
fazolarda amallarning uzluksizligidan kelib chiqadi. Demak, B(X, Y )
chiziqli fazo bo‘ladi.
Eslatib o‘tamiz, T ∈ B(X, Y ) operator normasi
||T || = sup{||T (x)|| : x ∈ X, ||x|| ≤ 1}
formula orqali aniqlanadi.
Qo‘shish, songa ko‘paytirish va normaga nisbatan B(X, Y ) nor-
malangan fazo bo‘ladi.
H Hilbert fazosi bo‘lsin. B(H) fazoda har bir x, y ∈ X uchun
A ∈ B(H) → |hA(x), yi|
(7.1)
formula yarim normani aniqlaydi. (7.1) korinishdagi yarim normalar
B(H) fazoda hosil etgan lokal qavariq topologiyaga kuchsiz topologiya
(w-topologiya) deyiladi. Bu topologiyada yaqinlashishga kuchsiz yaqin-
lashish deyiladi va u A
n
w
−→ A kabi belgilanadi. Kuchsiz topologiya
ta’rifidan,
A
n
w
−→ A ⇔ lim
n→∞
hA
n
(x), yi = hA(x), yi, ∀ x, y ∈ H

§ 7.1. Chiziqli operatorlar fazosi
251
ekanligi bevosita ko‘rinadi.
B(H) fazoda har bir x ∈ X uchun
A ∈ B(H) → ||A(x)||
(7.2)
formula yarim normani aniqlaydi. (7.2) ko‘rinishdagi yarim normalar
B(H) fazoda hosil etgan lokal qavariq topologiyaga kuchli topologiya
(s-topologiya) deyiladi.
Bu topologiyada yaqinlashishga kuchli yaqinlashish deyiladi va u
A
n
s
−→ A kabi belgilanadi. Kuchli topologiya ta’rifidan,
A
n
s
−→ A ⇔ lim
n→∞
A
n
(x) = A(x), ∀ x, ∈ H
ekanligi bevosita ko‘rinadi.
B(H) fazoda
A ∈ B(H) → ||A||
(7.3)
formula normani aniqlaydi. (7.3) korinishdagi norma B(H) fazoda hosil
etgan lokal qavariq topologiyaga tekis topologiya (r-topologiya) deyiladi.
Bu topologiyada yaqinlashishga tekis yaqinlashish deyiladi va u
A
n
⇒ A kabi belgilanadi. Tekis topologiya ta’rifidan,
A
n
⇒ A ⇔ lim
n→∞
||A
n
− A|| → 0
ekanligi bevosita ko‘rinadi.
Aytaylik, L biror H Hilbert fazosinig qism fazosi bo‘lsin. H = L⊕L
⊥
tengligidan har bir x ∈ H vektori yagona ravishda x = y +z ko‘rinishda
yoziladi, bunda y ∈ L, z ∈ L
⊥
. P : H → H operatori har bir x ∈ H
vektoriga uning L qism fazosiga proeksiyasi bo‘lgan y vektorini mos
qo‘ysin. Bu chiziqli operator L qism fazoga proektor deyiladi.
P
1
, P
2
proektorlar uchun P
1
P
2
= 0 bo‘lsa, P
1
va P
2
proektorlar or-
togonal deyiladi va P
1
⊥ P
2
kabi yoziladi.
Masalalar
7.1.1.
Agar X normalangan fazo, Y esa Banax fazosi
bo‘lsa, u holda B(X, Y ) Banax fazosi ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. Aytaylik, {T
n
}
n∈N
– B(X, Y ) fazosining xohlagan fun-
damental ketma-ketligi bo‘lsin. U holda ixtiyoriy ε > 0 soni uchun
shunday n
ε
soni topilib, barcha n, m ≥ n
ε
sonlar uchun
kT
m
− T
n
k < ε

252
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
tengsizligi o‘rinli bo‘ladi. Natijada, X fazosining xohlagan x nuqtasi
uchun
kT
m
(x) − T
n
(x)k ≤ kT
m
− T
n
kkxk < εkxk,
ya’ni
kT
m
(x) − T
n
(x)k ≤ εkxk
(7.4)
tengsizligiga ega bo‘lamiz. Bundan {T
n
(x)} ketma-ketlikning Y fazoda
fundamental ekanligi kelib chiqadi. Y to‘la bo‘lganligidan, {T
n
(x)} bu
fazoda yaqinlashuvchi bo‘ladi. Aytaylik,
lim
n→∞
T
n
(x) = T (x)
bo‘lsin. Har bir x
1
, x
2
∈ X, λ
1
, λ
2
∈ C uchun
T (λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
) = lim
n→∞
T
n
(λ
1
x
1
+ λ
2
x
2
) =
= lim
n→∞
(λ
1
T
n
(x
1
) + λ
2
T (x
2
)) = λ
1
T (x
1
) + λ
2
T (x
2
).
Demak, T chiziqli operator bo‘ladi.
Endi (7.4) tengsizligida m → ∞ bo‘yicha limitga o‘tsak,
kT (x) − T
n
(x)k ≤ εkxk
tengsizligiga ega bo‘lamiz. Natijada, T − T
n
operatorning B(X, Y ) fa-
zosiga tegishli ekanligi kelib chiqadi. U holda T = (T −T
n
)+T
n
operatori
ham B(X, Y ) fazosiga tegishli. Shu bilan birga,
kT (x) − T
n
(x)k ≤ εkxk
ekanligidan, kT − T
n
k ≤ ε tengsizligiga ega bo‘lamiz. Shu sababli T
n
⇒
T. Demak, B(X, Y ) Banax fazosi bo‘ladi.
7.1.2. F
n
fazoni F
m
fazoga akslantiruvchi chiziqli operator-
larning umumiy ko‘rinishini toping, bunda F = R yoki C.
Yechimi.
Aytaylik, {e
1
, ..., e
n
} sistema F
n
fazoning bazisi,
{f
1
, ..., f
m
} esa F
m
fazoning bazisi va A : F
n
→ F
m
chiziqli operator
bo‘lsin. Agar x = (x
j
) ∈ R
n
bo‘lsa, u holda
x =
n
X
j=1
x
j
e
j
va A operatorning chiziqli ekanligidan,
A(x) =
n
X
j=1
x
j
A(e
j
).

§ 7.1. Chiziqli operatorlar fazosi
253
Demak, A operatori {e
1
, ..., e
n
} bazisdagi qiymatlari orqali to‘liq
aniqlanadi. Har bir A(e
j
) vektorning {f
1
, ..., f
m
} bazisi bo‘yicha
A(e
j
) =
m
X
i=1
a
ij
f
i
yoyilmasini olamiz. Bundan
A(x) =
n
X
j=1
x
j
m
X
i=1
a
ij
f
i
,
ya’ni
A(x) =
m
X
i=1
n
X
j=1
a
ij
x
j
f
i
.
Demak, A operatori (a
ji
) matrisa orqali to‘liq aniqlanadi.
Bunda x = (x
1
, ..., x
n
) vektor qiymati quyidagicha topiladi:





a
11
a
12
. . . a
1n
a
21
a
22
. . . a
2n
...
... ... ...
a
m1
a
m2
. . . a
mn





◦




x
1
x
2
.
x
n



 =










n
P
i=1
a
1i
x
i
n
P
i=1
a
2i
x
i
.
n
P
i=1
a
mi
x
i










.
7.1.3. R
n
fazosida ||x|| = max
1≤k≤n
|x
k
| normasi qaralib, A : R
n
→
R
n
operatori {a
ij
}
1≤i,j≤n
matrisa bilan aniqlansa, u holda
||A|| = max
1≤i≤n
n
X
j=1
|a
ij
|
(7.5)
ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. x = (x
1
, · · · , x
n
) ∈ R
n
, y = A(x), y = (y
1
, · · · , y
n
) bo‘lsin.
U holda har bir i ∈ 1, n uchun
y
i
=
n
X
j=1
a
ij
x
j
.
Demak,
|y
i
| = |
n
X
j=1
a
ij
x
j
| ≤
n
X
j=1
|a
ij
||x
j
| ≤

254
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
≤
n
X
j=1
|a
ij
| max
1≤k≤n
|x
k
| = ||x||
n
X
j=1
|a
ij
|,
ya’ni
||y|| ≤ ||x||
n
X
j=1
|a
ij
|.
(7.6)
Faraz qilaylik, max
1≤i≤n
n
P
j=1
|a
ij
| ifoda maksimumga i = i
0
da erishsin.
Koordinatalari x
j
= sign(a
i
0
,j
), j = 1, n bo‘lgan x nuqtani olaylik. U
holda y = A(x) uchun
max
1≤i≤n
n
X
j=1
|a
ij
| =
n
X
j=1
|a
i
0
j
| =
n
X
j=1
a
i
0
j
x
j
= y
i
0
= |y
i
0
| ≤ ||y||,
ya’ni
max
1≤i≤n
n
X
j=1
|a
ij
| ≤ ||y||.
(7.7)
Endi (7.6) va (7.7) tengsizliklardan, (7.5) tenglik kelib chiqadi.
7.1.4. E Banax fazosi va T ∈ B(E) bo‘lsin. Agar ||T || < 1
bo‘lsa, u holda (I − T )
−1
∈ B(E) va
(I − T )
−1
=
∞
X
n=0
T
n
ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. x ∈ E bo‘lsin. ||T || < 1 bo‘lganligidan, S
n
=
n
P
k=0
T
k
uchun m > n da
||S
m
(x) − S
n
(x)|| = ||
n
X
k=0
T
m
(x) −
n
X
k=0
T
k
(x)|| =
= ||
m
X
k=n+1
T
k
(x)|| ≤
m
X
k=n+1
||T
k
(x)|| ≤
Ã
m
X
k=n+1
||T ||
k
!
||x|| ≤
≤
Ã
∞
X
k=n+1
||T ||
k
!
||x|| =
||T ||
n+1
1 − ||T ||
||x|| → 0.

§ 7.1. Chiziqli operatorlar fazosi
255
Demak, {S
n
(x)} ketma-ketligi E fazoda fundamental, y = A(x) =
lim
n→∞
S
n
(x) deylik. U holda
||A(x) − S
n
(x)|| ≤
||T ||
n+1
1 − ||T ||
||x||
ekanligidan, A − S
n
∈ B(E). Endi ||A − S
n
|| ≤
||T ||
n+1
1 − ||T ||
ekanligidan,
n → ∞ bo‘lganda,
n
P
k=0
T
k
⇒ A kelib chiqadi.
Endi A = (I − T )
−1
ekanligini ko‘rsatamiz. Har bir x ∈ E uchun
((I − T )A)(x) = (I − T ) lim
n→∞
S
n
(x) =
= lim
n→∞
((I − T )(I + T + T
2
+ ... + T
n
))(x) =
= lim
n→∞
(I − T
n+1
)(x) = lim
n→∞
(x − T
n+1
(x)).
Endi ||T
n+1
(x)|| ≤ ||T ||
n+1
||x|| → 0 ekanligidan, lim
n→∞
T
n+1
(x) → 0,
Bundan ((I − T )A)(x) = x. Xuddi shunday, (A(I − T ))(x) = x. Demak,
A = (I − T )
−1
.
7.1.5. E Banax fazosida aniqlangan A, B chegaralangan
chiziqli operatorlar uchun
(A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
tenglik o‘rinli ekanligini ko‘rsating.
Yechimi. x ∈ E, g ∈ E
∗
bo‘lsin. U holda
h(A + B)
∗
(g), xi = hg, A(x) + B(x)i = hg, A(x)i + hg, B(x)i =
= hA
∗
(g), xi + hB
∗
(g), xi = hA
∗
(g) + B
∗
(g), xi,
ya’ni
h(A + B)
∗
(g), xi = hA
∗
(g) + B
∗
(g), xi.
Bu tenglik barcha x ∈ E uchun o‘rinli ekanligidan,
(A + B)
∗
(g) = A
∗
(g) + B
∗
(g),
ya’ni
(A + B)
∗
= A
∗
+ B
∗
.
7.1.6. E Banax fazosida aniqlangan A chegaralangan chi-
ziqli operator va λ ∈ C soni uchun
(λA)
∗
= λA
∗

256
VII. Chiziqli operatorlar fazosi
tenglik o‘rinli ekanligini ko‘sating.
Yechimi. x ∈ E, g ∈ E
∗
bo‘lsin. U holda
h(λA)
∗
(g), xi = hg, λA(x)i = λhg, A(x)i =
= λhA
∗
(g), xi = hλA
∗
(g), xi,
ya’ni
h(λA)
∗
(g), xi = hλA
∗
(g), xi.
Bu tenglik barcha x ∈ E uchun o‘rinli ekanligidan,
(λA)
∗
(g) = λA
∗
(g),
ya’ni
(λA)
∗
= λA
∗
.
7.1.7. E, F Banax fazolari va A : E → F chegaralangan
chiziqli operator bo‘lsa, u holda ||A
∗
|| = ||A|| tenglik o‘rinli
ekanligini ko‘sating.
Yechimi. x ∈ E, g ∈ F
∗
bo‘lsin. U holda
|hA
∗
(g), xi| = |hg, A(x)i| ≤ ||g||||A(x)|| ≤ ||g||||A||||x||,
ya’ni
|hA
∗
(g), xi| ≤ ||g||||A||||x||.
Demak, ||A
∗
(g)|| ≤ ||g||||A||, ya’ni ||A
∗
|| ≤ ||A||.
Endi x ∈ E va A(x) 6= 0 bo‘lsin. y
0
=
A(x)
||
A(x)||
deylik. U holda
||y
0
|| = 1. 6.3.10-misoldan shunday g ∈ F
∗
mavjud bo‘lib, ||g|| = 1 va
g(y
0
) = 1, ya’ni hg, A(x)i = ||A(x))||. Bundan
||A(x)|| = hg, A(x)i = hA
∗
(g), xi ≤
≤ ||A
∗
(g)||||x|| ≤ ||A
∗
||||g||||x|| = ||A
∗
||||x||,
ya’ni ||A(x)|| ≤ ||A
∗
||||x||. Demak, ||A|| ≤ ||A
∗
|| va ||A|| = ||A
∗
||.
7.1.8. Har bir n ∈ N uchun A
n
: `
2
→ `
2
operatori
A
n
(x) =
µ
ξ
1
n
,
ξ
2
n
, ...,
ξ
n
n
, 0, 0, ...
¶
, x = (ξ
k
) ∈ `
2
formula bilan aniqlansa, u holda {A
n
} ketma-ketlikning nol
operatoriga tekis yaqinlashishini ko‘rsating.
Yechimi. x ∈ `
2
uchun
||A
n
(x)||
2
=
1
n
2
n
X
k=1
|ξ
k
|
2
≤
1
n
2
∞
X
k=1
|ξ
k
|
2
=
1
n
2
||x||
2

§ 7.1. Chiziqli operatorlar fazosi
257
ekanligidan,
||A
n
|| ≤
1
n
→ 0.
Bundan {A
n
} ketma-ketlik nol operatoriga tekis yaqinlashadi.
7.1.9. Har bir n ∈ N uchun A
n
: C[0, 1] → C[0, 1] operatori
(A
n
(x))(t) = t
n
(1 − t)x(t), t ∈ [0, 1]
formula bilan aniqlansa, u holda {A
n
} ketma-ketlikning nol
operatoriga tekis yaqinlashishini ko‘rsating.
Yechimi. x ∈ C[0, 1] uchun
||A
n
(x)|| = max
t∈[0,1]
|t
n
(1 − t)x(t)| ≤
≤ max
t∈[0,1]
|t
n
(1 − t)|||x|| =
n
n
(n + 1)
n+1
||x||.
Bundan
||A
n
|| ≤
n
n
(n + 1)
n+1
=
µ
n
n + 1
¶
n
1
n + 1
→ 0.
Bundan {A
n
} ketma-ketlik nol operatoriga tekis yaqinlashadi.
7.1.10. Har bir n ∈ N uchun A
n
: `
2
→ `
2
operatori
A
n
(x) = (ξ
1
, ξ
2
, ..., ξ
n
, 0, 0, ...) , x = (ξ
k
) ∈ `
2
formula bilan aniqlansa, u holda {A
n
} ketma-ketlikning birlik
operatoriga kuchli yaqinlashib, tekis yaqinlashuvchi emasligi-
ni ko‘rsating.
Yechimi. x = (ξ
k
) ∈ `
2
uchun
||A
n
(x) − x||
2
=
∞
X
k=n+1
|ξ
k
|
2
→ 0
ekanligidan,
A