Куринишга эга булганлиги учун

1 - м к с о л . Куйидаги система опции итерация методи билан ечилсин:
Юлг, + х, - Зх, - 2х, + х_; = 6,
—дг, + 25х_г + х, - 5х₄ - 2х, = 11,
■ 2х, + х₁ - 20х, + 2х„ - Зх₍ = -19, х₃ -x_s + Юх, -5х, =10, ⁽⁸-²⁴⁾
+ 2х, + Xj + 2х₄ - 20x_s = -32.
Ечиш. Биринчи усулда айтилтанидек, бу системанинг тенгламаларини мос равишда 10, 25, -20, 10, -20 ларга булиб, дуйидаги кУринишда езиб оламиз:
Х[ = 0,6 - 0,Lx, + 0,3.х₃ + 0,2х₄ - 0,1х₅,
х₂ = 0,44 + 0,04л'! - 0,04л'₃ + 0,2л, + 0,08л,,
л'з = 0,95 + 0,1л, + 0,05л, + 0,1л₄ - 0,15л,,
х₄ = 1 - 0,Uj + 0,1л, + 0,5л,, ^{(8 25)}
л, = 1,6 + 0,05л, + 0,1л, + 0,05Xj + 0,1л₄.
Бу ерда (8,14) лаги йигиидидар мос равишда 0,7; 0,36; 0,4; 0,7; 0,3 булиб, булар- дан эса ||Д[[_|=0,7<1 келиб чикади,
Дастлабки яднилашиш Д"¹ сифатида озод дадлар устуни (0,6; 0,44; 0,95; I; 1,6)’ ми олиб, кейинш ядинлашишларни топамиз:
х,¹" = 0,6 - 0,1л™¹ т O.lxf¹ + 0.2л*⁰¹ - 0,lxf = 0,6-0,1 ■ 0,44+
+ 0,3-0,95 + 0,2- 1 - 0,1 • 1,6 = 0,881,
х^¹' = 0,44 + 0,04 0,6 - 0,04 ■ 0,95 + 0,2 1 + 0,08 1,6 = 0,764
Шунга ухшаш л*,¹¹ = 0,892; xj¹* = 1,851; xj" = 1,72; \исоблашларнинг давоми 10- жадвалда келтирилган.
Шуни \ам таъкидлаб угиш керакки, дисоблашларни дисдартириш мадсадида аввалги бир нсча якинлашишларни камрод унли ракамлари билан дам дисоблаш дам мумкин.
Хнсоблашлар, одатда, х<⁽⁾ ва х**"*¹¹ ядинлашишлар керакли анидчикда устма- уст тушгунлари кадар давом эттирилади.

Ю-жадвал

к	^х]	V(A> ^х2	Y{b) ^Л1	v<*> ^х4	v<*) ^х5
0	0,6	0,44	0,95	1	1,6
1	0,881	0,754	0,892	1,851	1,72
2	0,9884	0,9482	1,0029	1,9147	1,9859

к	xt	^л2	Y<*)	v<*> л4	v<*> л5
3	0,9904	0,9814	0,9908	1,9939	1,9854
4	0,99944	0,99753	0,99769	1,99364	1,99897
5	0,99839	0,99865	0,99929	1,99954	1,99970
6	0,99986	0,99989	0,99977	1,99976	1,99960
7	0,999934	0,999920	1,000018	1,999788	1,999947
8	0,999974	0,999951	0,999976	2,000042	1,999978

Бу жадвалдан курамизки 8-итерация х,= 0,99997; х,= 0,99995; х₃= 0,99998; х₄= 2,00004; х₅= 1,99998 ечимдан иборат. Бу топилган такрибий ечим аник ечим х‘ = х₂ = хj = 1, х₄ = хj = 2 дан бешинчи хонанинг бирликлари буйичагина фаркланяпти,

2-мисол. Куй ид а ги система ни оддий итерация методини куллаш мумкин булган курннншга келтиринг:
2х₁ - Зх, + 6х₃ + 20х₄ = 10,

e = (0, ..., 0, l_(t+l), 0, 0) 127
х, +... + а. 127
II X ||з=!1 X 11= VI ^1 Р +1 *2 I² +-+ К I¹* (7-6) 131
||х<°>|| = 1,1М11 = М^^№11 135
1 ^ XI % I* «их XI^а* I = £I ^ад I 136
2Х 136
= хы 136
= XI^aJk l^maxEl^a<* I- (7.14) 136
^XXk* I-U* 1^ 136
II Я" ||,= £ 136
= XI Щ |= max XI а,* 136
о о о ... я_ 141
J = 0. 1, я»,- 1 УЧУ» 142
HI* 150
< 1, 151
^ <1, 151
КМ. 151
Z 151
к - s 21II I + 2 КI - ^хГ I* 157
li 2K l + l llj У |a,_y | 157
\\х - *<**!, < Р ||х - х⁽*^+п1|, + tfjx 158
||*-*⁽*^+,) ||, < Mi*' || х - x^w ||, 158

Еч яш. Куриниб турибдики, бу системанинг коэффициентдари (8.21) — (8.23) тенгсизликларни каноатлантирмайди. Шунинг учуй кам иккинчи усулни куллай- миз. (а) тенгламада х, оддидаги коэффициент шу тенгламадаги ко л га и коэффи- ентларнинг абсолют кийматлари буйича олинган йигандисидан катта. Шунинг учуй кам (а)ни янги косил кил и на д и га н системанинг 4-тенгламаси снфатида ола- миз. Шу мулоказаларга кура (б) тенгламани янги системанинг 3-тенгламаси килиб ёзамиз. Янги системанинг 1-те иглам ас ин и косил килиш учун (а) дан (в) ни айи- рамиз, натижада
10х, - 2х_г - 4х₃ + х₄ = 0
келиб чикдди. Никоят, 2-тенгламасини косил килиш учун сунгги косил килин- ган тенгламани (г) дан айирамиз:
х, - 7х, + 2х₃ — 2х₄ = 6.
Шундай килиб, куйидаги системага эга булдик:
10Х[ - 2х, - 4х₃ + х₄ = 0, х, - 7х, + 2х₃ - 2х₄ = 6, х, - 2х, - 15х₃ +3х₄ = 7,
2х, - Зх₂ + 6х₃ + 20х₄ = 10.
КУриниб турибдики, бу системага итерация методини куллаш мумкин.

3. 
   Зейдел методи. Зейдел методи чизикди бир кддамли бирин- чи тартибли итерацион методдир. Бу метод оддий итерация мето- дидан шу билан фарк киладики, дастлабки якинлашиш (х|⁰⁾, xfл£⁰⁾)' га кура х,⁽¹⁾ ни топамиз. Сунгра (x|^l\xf\...,xP⁾)' га кура Xj^]) топилади ва х,.к. Барча х,⁽¹⁾ лар аникданганидан кейин хР^х)³*,... лар топилади. Аникрок айтганда, хисоблашлар куйи­даги схема б?йича олиб борилади:
   

А.		п -У
°22	^ап ^1	)=з

*i __ V °ij _vk
^йп U «11


_v(*+i)
^х7




.(*+]) _ я
A. _ y^{1 a}ni _x(^k*'i
^a™ , _; ^ann '
Энди Зейдел методининг як,инлашиш шартини куриб чикай- лик. Бу шарт куйидаги теорема билан берилади.

2. 
   теорема. Зейдел методининг якинлашиши учун
   

аиД	^а12 ^аи ' ‘	• ^й!л
^2|Я	о22Я а23..	^й2л	= 0	(8.26)
^ая1^	^ал2^ °лЗ^*

тенгламанинг барча илдизлари модуллари буйича бирдан кичик булиши зарур ва кифоядир.

Исбот. Берилган А матрицани иккита

	ап	0 .	.. 0	0 '		0	^а12 ■	^а1.я-|	^а1л
С =	^а21	^й22 ••	. 0	0	,D =	0	0 .	•• ^а2,л-1	^а2л
	_°л!	^ал2 •	• ^ал,л-	V		0	0 .	.. 0	0

матрицалар йиеиндиси А = С + D шаклида ёзиб оламиз. У \олда Ах = b системани

Сх = ~Dx +b
шаклда ёзиш мумкин. Зейдел методи эса
С*»*” = -Dx^+b (8.27)



i^ai*r
i I “pi '

2=j+]
куринишдаги итерациядан иборатдир. Бутенгликни У⁽*^+п га нис- батан ечсак:
Бу эса, Зейдел методининг матрицаси -C^_lD булган оддий итера­ция га тенг кучли эканлигини курсатади. Демак, 1-теоремага кура Зейдел методининг ядинлашувчи булиши учун — C~^lD матрица- нинг барча хос сонлари модуллари буйича бирдан кичик булиши зарур ва кифоядир. Шунинг учун \ам
det(2£ + CVZ))=0 (8.29)
тенгламанинг барча илдизлари модуллари буйича бирдан кичик булиши керак. Агар бу тенглама илдизларининг ушбу
det (ЯС+ D)= 0 (8.30)
тенглама илдизлари билан устма-уст тушишини курсатсак, теоре­ма исбот булади. Бу эса куйидагича курсатилади:
det {ЛЕ + C“¹/))=det[C-‘C(A£ + C~'D)\ = =det[C^l(^C+ Д)]=бегС^-1. det (ХС + D).
Бу ерда det С^-V0 булганлиги учун (8.29) ва (8.30) бир хил ил- дизларга эта.
Агар биз (8.28) ни = В х^<к> + с деб олиб, оддий итерация
методи билан ечадиган булсак, у \олда (8.28) жараённинг ядинла- шиши учун

- —
-у Ьп ■	Ь\п
Ьи - у .	■ bln
Ьп] Ьп2 -	■-у

(8.31)
тенгламанинг барчау_р у_п илдизлари модуллари буйича бир­дан кичик булиши керак.
(8.26) ва (8.31) тенгламаларни солиштириб курсах, оддий ите­рация методи билан Зейдел методининг ядинлашиш со\алари, уму- ман, фаркди деган хулосага келамиз. Ха к,и катан \ам шундай сис- темалар мавжудки, улар учун оддий итерация методи ядинлаша- ди. Зейдел методи эса узокдашади ва аксинча шундай системаларни келтириш мумкинки, улар учун Зейдел методи якинлашувчи булиб, оддий итерация методи узокдашади.
Лекин (8.21) ёки (8.22) шартларнинг бирортаси бажарилса, од­дий итерацияга нисбатан Зейдел методи тезрок; яцинлашади. Бу куйидаги теоремада янада аникрок, ифодаланган.
6-теорема. Агар куйидаги

max V

шартларнинг бирортаси бажарилса, у ^олда ихтиёрий дастлабки якинлашиш х⁽⁰⁾ учун Зейдел методи якинлашади ва бу якинла- шиш биринчи шарт бажарилганда оддий итерация методининг якинлашишидан секин эмас.