Курсовая работа Методика обучения решению неравенств младших школьников в рамках альтернативных программ

Глава 2. Методика обучения работы с неравенствами в различных дидактических системах

§1. Традиционный подход к формированию понятия "неравенства"

В традиционной системе мы рассмотрим программу, авторами которой являются М.И.Моро и др.

С отношениями равенства и неравенства дети впервые встречаются начиная с первых уроков при сравнении двух множеств предметов, посредством установления взаимно-однозначного соответствия между составляющими их элементами (еще до счета предметов). Уже в ходе этих упражнений ученики наблюдают, что если в одном из сравниваемых множеств оказалось больше элементов, чем в другом (в результате установления соответствия некоторые элементы множества оказались без пары в другом множестве), то это означает, что в другом из сравниваемых множеств элементов меньше.
После того как практические действия с множествами связываются со счетом предметов, соответствующие упражнения уже прямо подводят детей к рассмотрению вопроса о равенстве и неравенстве чисел.
Ознакомление с равенствами и неравенствами в начальных классах непосредственно связывается с изучением нумерации целых неотрицательных чисел и арифметических действий с ними.
В ходе дальнейшей работы при изучении темы «Нумерация чисел 1—10» дети многократно выполняют сравнение чисел, устно называя отношения "больше", "меньше", "равно". На основе практических упражнений первоклассники усваивают количественные отношения между двумя соседними числами натурального ряда, осознают последовательность чисел в натуральном ряду как такую, в которой каждое следующее число на 1 больше предыдущего. В связи с этим они усваивают, что каждое число в ряду больше любого из тех, которые встречаются при счете перед ним, и меньше любого из тех, которые встречаются в ряду чисел после него. Таким образом они учатся сравнивать числа уже без опоры на данные непосредственного опыта, без опоры на предметную наглядность, лишь на основе знания того, какое из двух сравниваемых чисел встречается при счете раньше другого (оно и будет меньшим, а другое большим). И только на с. 42—43 учебник авторов М.И.Моро, М.А.Бантова предлагает ознакомить детей со знаками сравнения. Сравнивая группы предметов, учащиеся записывают и читают неравенства 5 > 4, 4 < 5 и равенство 5 = 5. Сразу же используют сравнение чисел для накопления наблюдений за изменениями при сложении и вычитании: прибавили — стало больше (3 + 1 = 4, 4 > 3), вычли — стало меньше (4 - 1 = 3, 3 < 4). Затем вводятся термины «равенство» и «неравенство» (с. 44).
Здесь же дети знакомятся со сравнением числа и выражения и соответствующими записями (М. 1,часть1, с. 42). Сравнение выполняется на основе вычисления значения выражения и сравнения полученного числа с данным: «3 + 1 > 3, так как 4 > 3». Однако уже и при рассмотрении этих первых примеров можно обратить внимание детей на то, что ответить на вопрос, что больше – 3 или 3 + 1, можно, и не вычисляя суммы, на основе такого рассуждения: если к 3 прибавить 1, то станет больше, чем 3, данное число при прибавлении к нему одной единицы увеличивается, значит 3 + 1 больше 3. На первых порах такие рассуждения выполняются уже после того, как сравнение выполнено с использованием вычислений, но в дальнейшем они могут стать исходными, а полученный на их основе вывод и в этом случае должен проверяться с помощью вычислений.
И только во втором классе предусматривается ознакомление детей со сравнением двух выражений. Одновременно рассматриваются случаи равенства и неравенства двух выражений.
Сравнение величин (1класс) сначала выполняется с опорой на сравнение самих предметов по данному свойству, а потом осуществляется на основе сравнения числовых значений величин, для чего заданные величины выражаются в одинаковых единицах измерения. Сравнение значений величин вызывает трудности у учащихся, поэтому, чтобы научить этой операции, надо систематически в I - IV классах предлагать разнообразные упражнения, например:
1) Подберите равную величину: 7км 500 м =… м, 3080 кг =…т…кг
2) Подберите числовые значения величин так, чтобы запись была верной: … ч < … мин, … см =… дм… см, … т… ц = … кг.
3) Вставьте наименования у величин так, чтобы запись была верной: 35 км = 35000 ..., 16 мин >16 ..., 17 т 5 ц=17500 ... .
4) Проверьте, верные или неверные равенства даны, исправьте знак отношений, если равенства неверны: 4 т 8 ц = 480 кг, 100 мин = 1 ч, 2 м 5 см = 250 см.
Понятие переменной вводится в третьем классе. Неравенства с переменной вида: х + 3 < 7, 10 – х > 5, х ∙ 4 > 12, 72 : х < 36 вводятся также в третьем классе. Заранее ведется соответствующая подготовительная работа: включаются упражнения, в которых переменная обозначается не буквой, а «окошечком» (квадратом), например: > 0, 6 + 4 > , 7 + < 10 и т. д. Учащимся предлагается подобрать такое число, чтобы получить верную запись. При выполнении таких упражнений учитель должен побуждать детей к подстановке различных чисел; например, в неравенстве >0 можно подставить число 1 (1>0), можно 2 (2 > 0), можно 3 (3 > 0) и т. д. После того как названо несколько чисел, полезно обобщить наблюдения (например, во втором неравенстве можно подставить любое число, которое меньше 10 — от 0 до 9).
Рассматривая, например, неравенство х + 3 < 10, учащиеся путем подбора находят, при каких значениях буквы х значение суммы х + 3 меньше, чем 10. В каждом таком задании дается множество чисел — значений переменной. Ученики подставляют значения буквы в выражение, вычисляют значение выражения и сравнивают его с заданным числом. В результате такой работы выбирают значения переменной, при которых данное неравенство является верным.
Термины «решить неравенство», «решение неравенства» не вводятся в начальных классах, поскольку во многих случаях ограничиваются подбором только нескольких значений переменной, при которых получается верное неравенство.
Позднее в упражнениях с неравенствами значения переменной не даются, учащиеся сами подбирают их. Такие упражнения, как правило, выполняются под руководством учителя.
Моро М.И. предлагает ознакомить детей со следующим приемом подбора значений переменной в неравенстве. Пусть дано неравенство 7 ∙ х < 70. Сначала устанавливают, при каком значении х данное произведение равно 70 (при х=10). Чтобы произведение было меньше, чем 70, следует множитель брать меньше, чем 10. Учащиеся выполняют подстановку чисел 9, 8 и т. д. до нуля, вычисляют и сравнивают полученные значения выражения с заданным (70) и называют ответ.
Однако в процессе работы над неравенствами с переменной учащиеся, подставляя различные значения переменной, накапливают наблюдения и убеждаются в том, что равенства и неравенства бывают как верные, так и неверные. Такой подход к раскрытию понятий определяет соответствующую методику работы над неравенствами, .
Упражнения с неравенствами закрепляют вычислительные навыки, а также помогают усвоению других арифметических знаний. Например, подставляя различные числовые значения компонентов, дети накапливают наблюдения об изменении результатов действий в зависимости от изменения одного из компонентов.
Здесь уточняются знания детей о конкретном смысле каждого действия (так, подставляя значения вычитаемого, дети убеждаются в том, что вычитаемое не больше уменьшаемого на области целых неотрицательных чисел и т. п.). Подбирая значения буквы в неравенствах и равенствах вида: 5 + х = 5, 5-х = 5; 10 ∙ х =10, 10 ∙ х < 10, учащиеся закрепляют знания особых частных случаев вычислений. Работая с неравенствами, учащиеся закрепляют представление о переменной и подготавливаются к решению неравенства в V классе.