Курсовая работа по алгебре студента 2 курса Райченко Антона Владимировича Направление подготовки: «Педагогическое образование»

Теорема 1. Рассмотрим полиномиальное уравнение  с целыми коэффициентами, имеющее только простые корни. Тогда число его вещественных корней в интервале равно разности  , где  обозначает число перемен знаков в последовательности Штурма  для  .
Доказательство. Доказательство основано на условиях 1-4 определения 1, которые характеризуют функции последовательности Штурма  определенной соотношениями (1).
a) В достаточно малой окрестности вещественного корня α полинома  знаки полиномов и противоположны, если  и одинаковы, если  .
b) Два соседних элемента последовательности Штурма не могут одновременно обращаться в нуль. Чтобы в этом убедиться, предположим противное, т.е. пусть  и — оба нули для некоторого значения  . Тогда из (1) видно, что для того же самого значения  мы также имеем  Это, однако, противоречит тому, что  — ненулевая константа. (Очевидно, что тот же самый результат имеет место также для  и .)
c) Если одна из функций в последовательности Штурма обращается в нуль при некотором значении  , то в той же точке соседние функции в этой последовательности имеют противоположные знаки. Действительно, если , то ,откуда следует, что .
Установив эти свойства, нам нужно показать, что при изменении от  до последовательность Штурма теряет одну перемену знаков, если  проходит через корень α уравнения  , и что в отличие от последовательности Фурье, она не теряет перемену знаков, если  проходит через корень другого элемента последовательности. Действительно, из свойства (a) мы видим, что, когда  проходит через корень α уравнения  , мы теряем ровно одну перемену знаков. Предположим теперь, что  проходит через  корень уравнения  Из свойств (b) и (c) следует, что числа  и отличны от нуля и имеют противоположные знаки. Мы можем тогда выбрать малую окрестность  где эти две функции не меняют знаков, и построить следующую таблицу:

x	ri-1	ri	ri+1	ri-1	ri	ri+1
αi-ε αi αi+ ε	+ + +	± - ±	- - -	- - -	± 0 ±	+ + +

(Отметим, что  - не обязан быть простым корнем уравнения  .)

Из этой таблицы видно, что в группе трех функций  нет потерь перемен знаков при прохождении  через корень полинома  и это завершает доказательство. Теорема доказана.
Пример. Рассмотрим полиномиальное уравнение  последовательность Штурма которого равна: Тогда, пользуясь теоремой 1, мы можем с уверенностью утверждать, что у есть два вещественных корня в интервале (0,2), поскольку, вычисляя значения последовательности Штурма при  мы получаем  с двумя переменами знаков, а вычисляя ее при  мы получаем  без перемен знаков, и  .
По словам Штурма теорема 1 была второстепенным продукт ом его исследований в области линейных уравнений второго порядка. Требование, чтобы уравнение  имело только простые корни, не является ограничением общности, поскольку мы можем сначала выполнить разложение на свободные от квадратов множители, а затем воспользоваться теоремой Штурма. Более того, всякий раз, когда последовательность Штурма имеет  элементов, где  мы можем легко определять число пар комплексных корней уравнения  следующим образом.