Курсовая работа по алгебре студента 2 курса Райченко Антона Владимировича Направление подготовки: «Педагогическое образование»

Определение 2. Пусть  — полином с целыми коэффициентами от одной переменной,  ; более того, предположим, что  имеет  , различных корней  . Если  , то определим сепаратор  полинома  формулой

Если  , то .
Нижняя граница сепаратора  дается формулой

(2)

Глава 2. Метод Штурма для отделения действительных корней.

В данной главе мы будем рассматривать вопрос, связанный с числом вещественных корней многочлена с действительными коэффициентами. Во время рассмотрения нас будет интересовать как общее число вещественных корней, так и отдельно отрицательных и положительных, да и вообще корней, находящихся в заданном интервале . Для того, чтобы точно найти общее число корней есть несколько методов, но все они сильно громоздки. Самым удобным из них является метод Штурма, который мы сейчас изложим.

Сформулируем для начала следующее определение.
Определение 3. Пусть дана некоторая упорядоченная конечная система действительных чисел, отличных от нуля, например
-ё, 4, -5, 6, -12, -14, -4, 5, 7. (1)
Выпишем последовательно знаки этих чисел:
-, +, -, +, -, -, -, +, +. (2)
Видно, что в группе знаков (2) пять раз стоят рядом противоположные знаки. Из-за этого утверждают, что в упорядоченной системе (1) имеет место пять перемен знаков. Количество перемен знаков можно сосчитать, естественно, для любого множества стоящих друг за другом не равных нулю действительных чисел.
Теперь рассмотрим многочлен с действительными коэффициентами. При этом будем считать, данный многочлен не имеет кратных корней, потому как иначе можно было бы разделить его на наибольший общий делитель его и его производной.
Конечная упорядоченная система отличных от нуля многочленов с действительными коэффициентами
(3)
Называется системой Штурма для многочлена , если выполняются следующие условия:

1. 
   Соседние многочлены системы (3) не имеют общих корней.
   
2. 
   Многочлен не имеет действительных корней.
   
3. 
   Если - действительный корень одного из многочленов системы (3), , то и имеют разные знаки.
   
4. 
   Если - действительный корень многочлена , то произведение меняет знак с минуса на плюс, когда при возрастании проходит через точку .
   

Проблема, связанная с тем, что для любого ли многочлена может быт составлена система Штурма, решится ниже. Мы же предполагаем что обладает этой системой и покажем, как она используется для нахождения числа действительных корней.
Если какое-либо действительное число не является корнем исходного многочлена , а (3) является системой Штурма для данного многочлена, то возьмем систему действительных чисел
и вычеркнем из нее все числа, которые являются нулями. Обозначим через количество перемен знака в системе. Назовем числом перемен знака в системе Штурма (3) при .
Для того, чтобы установить сколько всего корней многочлена заключено на интервале необходимо установить, насколько уменьшается число перемен знаков в системе Штурма многочлена при переходе от .
Рассмотрим изменение числа . Если не встретит корень многочлена системы (3), то знаки многочленов системы не изменяться, а значит и не изменится.
Воспользуемся теоремой Штурма для отыскивания всех действительных корней многочлена . Для этого нужно взять в качестве нижнего предела- предела отрицательных корней, число , а в качестве верхнего предела- предел положительных корней, число . Однако мы используем следующее: существует такое положительное число M, возможно очень большое, что при знаки многочленов системы Штурм совпадут со знаком старших коэффициентов. То есть найдется довольно большое положительное значение , что знаки значений многочленов совпадут со знаками их старших членов. Это значение обозначим за . С другой стороны, найдется и столь же большое по модулю отрицательное , что знаки значений многочленов четной степени совпадут со знаками их старших членов, а знаки значений многочленов нечетной степени будут являться противоположными для знаков их старших коэффициентов; обозначим это значение через . В интервале находятся все действительные корни многочленов системы Штурма. После применения к этому интервалу теоремы Штурма, мы сможем найти число корней многочлена . Применяя ее к интервалу мы найдем число отрицательных корней, а применяя к интервалу найдем число положительных корней.
Осталось лишь показать для всякого многочлена с действительными коэффициентами, которые не имеют кратных корней, можно составить систему Штурма. Изложим наиболее удобный метод. Пусть . Этим выполняется условие 4) из системы Штурма, т.е., если - действительный корень многочлена , то . Если , то в окрестности точки , а поэтому меняет свой знак с минуса на плюс. Это верно и для . Аналогично рассуждаем и при . Затем делим на , а остаток от деления берем с противоположным знаком и принимаем за :

Изложенный метод отличен от алгоритма Евклида только тем, что у остатка каждый раз знак изменяется на обратный и каждое последующее деление происходит уже на остаток с обратным знаком. Так как при нахождении наибольшего общего делителя эта перемена знаков несущественна, то данный процесс остановится, допустим на , который является наибольшим общим делителем для многочленов . Из этого следует, что система многочленов (3) удовлетворяет условию 2) из определения системы Штурма. Для того, чтобы доказать выполнение условия 1), мы предположим, что соседние имеют общий корень . Тогда будет корнем многочлена . После перехода к равенству , мы получаем, что является корнем для . Продолжая этот процесс, мы получим, что является корнем для , что противоречит предположению. И наконец, выполнение условия 3) происходит из следующего: если , то .
Рассмотрим пример отделения корней многочлена по методу Штурма на примере многочлена .
Для применения этого метода к многочлену требуется составить систему Штурма .
Замечание: многочлен должен иметь действительные коэффициенты и не иметь кратных корней.
Правило построение системы Штурма:

1. 
   
   
2. 
   Если известны и  , то будет равен остатку от деления на  , взятым с обратным знаком:
   

.
Замечание: В процессе деления, в отличии от алгоритма Евклида, остаток можно умножать лишь на произвольное положительное число (для того, чтобы коэффициент при старшей степени был целым или просто удобным), т.к. знак остатка принципиально важен.