Курсовая работа по алгебре студента 2 курса Райченко Антона Владимировича Направление подготовки: «Педагогическое образование»

Теорема2 . Рассмотрим полиномиальное уравнение степени  с целыми коэффициентами без кратных корней. Тогда  имеет столько же пар комплексных корней, сколько имеется перемен знаков в последовательности первых членов  функций последовательности Штурма  .
Доказательство. Справедливость этого утверждения основана на том, что одна из двух соседних функций последовательности имеет четную степень, а другая — нечетную. Поэтому, если две функции имеют один и тот же знак при  то они будут иметь противоположные знаки при  и наоборот. Таким образом, если мы вычисляем последовательность Штурма  в и в , то каждая перемена знаков в любой из этих последовательностей будет соответствовать постоянству в другой, т.е. число постоянств в последовательности Штурма, вычисленной в  равняется числу перемен знаков в последовательности Штурма, вычисленной в  .
Пусть i — число перемен знаков в  Эти перемены получены из знаков коэффициентов при самых высоких степенях  в дополнительных функциях  где первые члены полиномов  и предполагаются положительными.
Однако мы видели, что  будет содержать i постоянств или, эквивалентно,  перемен знаков.
Пользуясь теоремой 1, мы видим, что число вещественных корней уравнения  между  и равно числу перемен знаков в  минус число перемен знаков в  . Следовательно, уравнение  имеет  вещественных корней, а значит,  комплексных корней, которые появляются попарно. Таким образом, мы имеем i пар комплексных корней. Теоремам доказана.
Пример. Рассмотрим полином из последнего примера  последовательность Штурма которого равна . Ясно, что коэффициенты  первых членов всех элементов последовательности положительны, и, поскольку перемен знаков нет, полином  не имеет комплексных корней.
Для полноты мы представим сейчас другой способ построения  ; таким образом, мы покажем, что существует бесконечное число наборов функций, которые могут использоваться, чтобы отделить вещественные корни полиномиального уравнения.
Пусть  — производная полинома ; умножим  на двучлен  , где  и — неизвестные, и вычтем из произведения  . В результате получим полином степени n, который разделим на полином  где  , , — заданные числа, такие, что  остается положительным для всех вещественных значений x или по крайней мере обращается в нуль не более чем для одного значения x, которое не является корнем полинома  и остается положительным для всех других значений x. Разделив  на  , получаем частное  , содержащее и в первой степени во всех своих членах, и остаток первой степени вида  где коэффициенты  также содержат  и в первой степени. Приравнивая эти коэффициенты К, L нулю, получаем численные значения для  и ; после подстановки этих значений  и в последний полином становится полностью определенным. Поэтому мы имеем соотношение

или

Если коэффициент при  в полиноме  ненулевой, то мы можем продолжать этот процесс и получить функцию  такую, что

Однако, если  то мы заменяем  трехчленом и получаем соотношение
.
Если  не содержит кратных корней, то в конце мы получаем функцию  , которая является числовой константой. Читателю следует проверить, что эта новая последовательность удовлетворяет условиям определения 1 и, следовательно, является последовательностью Штурма.
Пример. Применим описанную процедуру к полиному  где, очевидно, . Тогда
и, разделив этот полином на
мы получим частное 
и остаток . После того как мы приравняем остаток к нулю, мы получим и , а подставляя эти значения в  , получаем  т.е.

Теорема Штурма используется для того, чтобы отделить действительные корни полиномиального уравнения с целыми коэффициентами. Наиболее эффективный способ сделать это — сначала отделить положительные корни, а затем — отрицательные.