Курсовая работа по алгебре студента 2 курса Райченко Антона Владимировича Направление подготовки: «Педагогическое образование»

Глава 1. Теорема Штурма для определения числа корней многочлена

Основные темы исследований Фурье на протяжении всей его жизни были теория теплоты и теория численного решения уравнений. Данные темы были развиты Штурмом, который имел личные и научные связи с Фурье. В 1829 г. рукопись Фурье о численном решении уравнений была представлена нескольким специалистам, среди которых был и Штурм, явно указывавший на большое влияние, оказанное на него этой работой.

Заслуга Штурма состоит в том, что он заменил последовательность Фурье последовательностью , которая называется последовательностью Штурма или цепью. Эта последовательность получилась после применения алгоритма Евклида к полиномам и , если взять в качестве полиномы, противоположные к полиномиальным остаткам, т.е. она определяется следующими соотношениями:

(1)
Преимущество последовательности Штурма состоит в том, что мы можем получить точное число вещественных корней уравнения на данном интервале. Заметим, что если — степень полинома  . то обычно получается дополнительных функций , потому что при вычислении наибольшего общего делителя полиномов и степень каждого остатка обычно на единицу меньше степени предыдущего остатка. Кроме того, если нет кратных корней, то - константа.
Определение 1. (определение обобщенной последовательности Штурма). Пусть — полиномиальное уравнение с рациональными коэффициентами без кратных корней. Тогда, начиная с можно построить последовательность полиномов, называемую (обобщенной) последовательностью Штурма: ,
со следующими свойствами в интервале  (т.е. когда  возрастает от  до ):

1. 
   В достаточно малой окрестности вещественного корня α полинома  знаки полиномов  и различны, если  и одинаковы, если  .
   
2. 
   Два последовательных члена последовательности Штурма  не могут одновременно обращаться в нуль.
   
3. 
   Если одна из функций в последовательности Штурма  обращается в нуль при некотором значении  то значения соседних функций этой последовательности, вычисленные в той же точке, имеют противоположные знаки.
   
4. 
   Последняя функция  не обращается в нуль, а следовательно, не меняет знак.