квадратур формуланинг коефитциентлари,, фазонинг елементи

1.1. Квадратур формула коеффициентлари учун Винер - Ҳопф типидаги дискрет система.
Биз Ейлер-Маклаурин типидаги квадратур формулалари деб аталадиган қуйидаги шаклдаги квадратур формулаларини кўриб чиқамиз:
, .
Кейинчалик, Ейлер-Маклорен типидаги квадратур формулалари бо`йича олинган со`нги натижалар ҳақида қисқача маълумот берамиз. И.Шонберг [39] ишида сплине функциялар усули ёрдамида Ейлер-Маклорен квадратур формуласининг оптималлиги исботланган ва бу формуланинг фазодаги хатоси хисобланган.
[0, 1] да - тартибли хосиласи абсалют узлуксиз бўлган ва га эга бўлган функциялар синфи ( ) бўлсин, бундаа . A.A.Женсикбоев [49] ишида фазода (1) квадратур формуласининг оптималлиги, X.M.Шадиметов [61] ишида даврий бўлмаган Соболев фазосида Ейлер-Маклорен типидаги квадратур ва кубатур формулаларнинг оптималлиги исботланган. [37] – ишда оптимал квадратур формулаларни қуришнинг турли усуллари мухокама қилинади ва бази мисоллар келтирилади.
учун турли фазолардаги (1) кўринишидаги квадратур формулаларнинг оптималлиги муаммоси кўплаб муаллифлар томонидан кўриб чиқилган (юқорида такидланганидек, A. Сард, Л. Ф. Mейерс, Г. Koман, И. Шонберг, С. Силлиман), С. Л. Соболев, З.Ж.Жамалов, Ф.Я.Загирова, X.M.Шадиметов, A.Р.Xаётов ва бошқалар) ва [44, 45, 10, 48] фазода тўлиқ ечилган.
Бу ерда, табиики, учун оптимал квадратур формулаларни қуриш муаммоси пайдо бўлади. Бундан ташқари Ейлер-Маклорен типидаги оптимал квадратур формулалар [62,63,52] да келтирилган. Ушбу мақолада биз учун фазода оптимал квадратур формулаларни қуриш масаласини кўриб чиқамиз.
Ейлер-Маклорен типидаги квадратур формулалар деб аталадиган қуйдаги шаклдаги формулаларни кўриб чиқамиз:
(1.1)
Бу ерда
, - (1) квадратур формуланинг коефитциентлари, , фазонинг елементи.
(1) квадратур формуланинг хатолиги

бунда (1.2)
- [0,1] кесманинг характеристик функцияси, - Диракнинг делта функцияси.
Ушбу ишда хатолик функционали (1.2) бўлган квадратур формула (1) учун фазода екстримал функция топилади, коеффициентларга нисбатан нормаларни минималлаштириш орқали хатолик функционали нормасининг квадрати ҳисобланади. ни топиш учун чизиқли алгебраик тенгламалар системаси олинади, натижада олинган системанинг эчими мавжудлиги ва ягоналиги исботланади.
Шуни такидлаш керакки, [40,49] ишда батфсил натижалар фазодаги хотолик функционали учун олинган.

бунда - чегараланган майдоннинг характеристик функцияси, .
фазода ва функцияларнинг скаляр кўпайтмаси қуйдагича аниқланади
(1.3)
функциянинг нормаси

Квадратур формуланинг хатолиги да чизиқли узлуксиз функционал бўлади, бу ерда нинг қўшма фазосидир, яни Гилберт фазосининг бирлик сегментида ушбу формуланинг максимал хатолигидан фойдаланиб, (1.1) квадратур формуланинг хатолигини бахолаш мумкин, яни функционал нормасидан фойдаланган холда:

Бундан кўринадики, хатолик функционали нормаси коеффициентларга боғлиқ. Агар
(1.4)
Бўлса у холда функционал даги оптимал квадратур формулага мос келади. Квадратур формуланинг фозода мумкин бўлган максимал хатоликни топиш талаб етилса, қуйдаги масалаларни хал қилиш кифоя.