Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

И Н С Т Р У М Е Н Т Ы С И Л Ы
89
(степень х) является переменной, а основание (число 10) постоянной, 
тогда как в степенно2й функции, подобной х
2
, все наоборот. Такая переме-
на мест (переменной и константы) приводит к огромной разнице между 
этими функциями: при увеличивающемся значении x экспоненциальная 
функция с показателем x в конечном итоге растет быстрее любой степен-
но2й функции, независимо от ее степени. Экспоненциальный рост — не-
вообразимо быстрый рост.
Вот почему так трудно сложить лист бумаги пополам больше семи-
восьми раз
41
. Каждое сложение листа удваивает его толщину, что приво-
дит к ее (толщины) увеличению в геометрической прогрессии. В то же 
время длина, каждый раз сжимаясь пополам, уменьшается по экспонен-
циальному закону. После семи сложений толщина стандартного листа 
из записной книжки становится больше его длины, и поэтому дальше 
его складывать нельзя. Причем неважно, сколько усилий прикладывает 
человек при складывании. Предположим, лист можно сложить n раз — 
в результате стопка должна иметь 2
n
слоев. Здесь не может быть линей-
ной зависимости, и еще одно сложение невозможно, если толщина стоп-
ки больше ее длины.
Задача считалась нерешаемой, пока в 2002 году Бритни Галливан , уче-
ница старшего класса средней школы, не доказала обратное. Сначала она 
вывела формулу
L = 
T
6
(2
n 
+ 4) (2
n 
– 1),
которая позволяла посчитать максимальное количество сложений n, где 
Т — толщина листа бумаги, L — его длина, и складывается он только 
в одном направлении. Обратите внимание на запрещающее присутствие 
экспоненциальной функции 2
n
в двух местах: первый раз для учета удво-
ения толщины пачки при каждом сложении, а во второй — чтобы учесть 
двукратное сокращение ее длины.
Используя свою формулу, Бритни пришла к выводу, что ей понадо-
бится специальный рулон туалетной бумаги почти в три четверти мили 

---

С О О Т Н О Ш Е Н И Я
90
длиной. Она купила бумагу и в январе 2002 года отправилась в торговый 
центр в своем родном городе Помона, где и размотала ее. Семь часов 
спустя с помощью родителей девочка побила мировой рекорд, сложив 
бумагу двенадцать раз!
В теории также предполагается, что экспоненциальный рост увели-
чит ваш банковский счет. Если ваш вклад растет с годовой процентной 
ставкой, равной r, то через год сумма увеличится в (1 + r) раз от перво-
начального размера вклада; после двух лет она вырастет в (1 + r)
2
раз, 
а после х лет — в (1 + r)
х
раз. Таким образом, чудо погашения долга
*
, 
о котором мы так часто слышим, вызвано действием экспоненциального 
роста.
С этого места можно вернуться к логарифмам . Мы нуждаемся в них 
потому, что полезно иметь инструменты, которые могут отменить дей-
ствие других инструментов. Подобно тому как каждый служащий нуж-
дается как в степлере, так и в антистеплере, каждый математик нуждает-
ся как в показательных (экспоненциальных) функциях, так и в логариф-
мах, поскольку они взаимообратны. Это означает, что если вы введете 
в калькулятор число х и нажмете кнопку «
10
x
», а затем кнопку «log x», 
то в результате опять получите число х. Например, если х = 2, то 10
x
со-
ставит 100. Взяв десятичный логарифм от 100, снова получим 2, так как 
log
**
(100) = 2. Кроме того, log (1000) = 3, log (10 000) = 4, потому что 
1000 = 10
3
, 10 000 = 10
4
.
Обратите внимание, в этом есть что-то магическое: как только числа 
внутри логарифмов увеличиваются мультипликативно каждый раз с де-
сятикратным увеличением от 100 до 1000 и до 10 000 (то есть умножают-
ся на 10), их логарифмы растут аддитивно, увеличиваясь от 2 до 3 и до 4. 
Наш мозг выполняет подобный трюк, когда мы слушаем музыку. Частоты 
нот в музыкальной гамме — до, ре, ми, фа, соль, ля, си — становятся нам 
* Здесь речь идет о том, что если процентная ставка депозита выше ставки по кре-
диту, то через несколько лет сумма на депозите может погасить сумму кредита. 
Прим. ред.
** Как правило логарифм по основанию 10 записывают как lg, но на калькуляторе 
кнопка «log x» обозначает десятичный логарифм. Прим. ред.

---