Кванты Скотт Паттерсон Brainiac Кен Дженнингс Moneyball

Х О Т Ь Л О М Т И К А М И , Х О Т Ь К У Б И К А М И
151
на рычаге и центрах тяжести, по сути, взвешивая фигуру в своем созна-
нии, уравновешивая ее другими, уже ему известными. Недостатком его 
подхода, помимо того что он требовал гениальных способностей, было 
то, что его можно было применить только к очень ограниченному числу 
фигур.
Концептуальные проблемы, подобные этой, ставили в тупик лучших 
математиков в течение следующих девятнадцати веков — до середины 
XVII столетия, когда Джеймс Грегори , Исаак Барроу , Исаак Ньютон
и Готфрид Лейбниц обосновали то, что сейчас называется фундамен-
тальной теоремой интегрального исчисления
70
. Она мощно сковала два 
типа изменений, которые изучаются в исчислениях: накапливаемые из-
менения, представленные интегралами, и локальные изменения, пред-
ставленные производными (см. главу 17). Выявив эти связи, основная 
теорема значительно расширила вселенную интегралов и уменьшила 
утомительную работу по их вычислению. В настоящее время ее можно 
запрограммировать на компьютере. С ее помощью даже задача о пересе-
чении двух цилиндров, которая относилась когда-то к уровню мирового 
класса, становится общедоступной.
Только простейшие виды изменений могли быть проанализирова-
ны до появления основной теоремы интегрального исчисления. Когда 
что-то меняется постепенно, с постоянной скоростью, алгебра прекрас-
но работает. Это из области «расстояние равно скорости, умноженной 
на время». Например, автомобиль движется с неизменной скоростью 
60 миль в час, при этом он проедет 60 миль за первый час и 120 миль 
к концу второго часа.
А как насчет изменений, которые происходят при изменении ско-
рости?
Все вокруг нас постоянно меняется: увеличение скорости упавшего 
с высотного здания пенни, быстрая смена потоков, эллиптические ор-
биты планет, наши суточные биоритмы. Только исчисление может спра-
виться с накапливаемым эффектом от неоднородных изменений, подоб-
ных этим.

---

В Р Е М Я П Е Р Е М Е Н
152
На протяжении почти двух тысячелетий после Архимеда для прогнози-
рования эффекта от постоянных изменений существовал только один 
метод — последовательное складывание различных ломтиков. Предпо-
лагалось, что вы считаете скорость изменения в пределах каждого лом-
тика постоянной, затем вызываете аналог «расстояние равно скорости, 
умноженной на время», чтобы медленно двигаться до конца ломтика, 
и повторяете это до тех пор, пока все кусочки не будут рассмотрены. 
В большинстве случаев выполнить это невозможно. Бесконечные суммы 
слишком сложно вычислять.
Фундаментальная теорема интегрального исчисления позволила 
решить многие из ранее нерешаемых задач, упростила вычисление ин-
тегралов, по крайней мере для элементарных функций (суммы и произ-
ведения степеней, экспоненты, логарифмы и тригонометрические функ-
ции), которыми описываются многие явления в природе.
С помощью нижеприведенной аналогии я надеюсь пролить свет 
на основную идею фундаментальной теоремы и то, зачем она нужна. 
(Ее предложил мой коллега Чарли Пескин из Нью-Йоркского универ-
ситета.) Представьте себе лестницу, общее изменение высоты которой 
от нижней до верхней ступенек равно сумме высот всех ступенек. Это 
верно даже при условии, что высота одних ступенек больше, чем других. 
Количество ступенек не имеет значения.
Фундаментальная теорема интегрального исчисления работает и для 
функций. Если проинтегрировать производную функции от одной точ-
ки до другой, то получим ее изменение между двумя точками. В данной 
аналогии функции — это увеличение подъема каждой ступеньки по от-
ношению к уровню земли. Высоты отдельных ступенек — производные. 
Интегрирование производных — это суммирование подъемов. А две 
точки — верхняя и нижняя часть лестницы.
Что это нам дает? Предположим, вас попросили просуммиро-
вать огромный список чисел. Оказывается, что бы вы ни суммирова-
ли, всякий раз вы берете интеграл по частям. Если вам удастся найти 

---